专题03 分式和分式方程（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题03 分式和分式方程 1．了解分式和最简分式的概念； 2．能利用分式的基本性质进行约分和通分； 3．能进行简单的分式加、减、乘、除运算； 4．能解可化为一元一次方程的分式方程； 5．能够根据具体问题中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 考点1：分式的有关概念及性质 1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 注：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当 时，分式才有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）. 3．最简分式：分子与分母没有 的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有 ，要进行约分化简. 考点2：分式的运算 1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的 约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以 ，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母 ，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的 作为 的分子，把分母相乘的 作为 的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母 后，与被除式 . （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算 ，再算 ，最后 ，有 先算 里面的. 考点3：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为 方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 考点4：分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【题型1：分式的概念和性质】 【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式有意义的x的取值范围是 ． 1．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）函数的图象位于（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（2022·江苏镇江·校考三模）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 3．（2023·江苏泰州·校考三模）下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 4．（2023·江苏扬州·统考一模）先化简再求值：，其中是方程的一个根． 【题型2：分式的运算】 【典例2】（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 1．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）已知，其中A、B为常数，那么的值为 ． 2.（2023·江苏连云港·统考二模）比较大小： ．（用“”、“”或“”填空） 3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）计算： (1) (2) 4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知，，证明：． 【题型3：解分式方程】 【典例3】（2023·江苏镇江·统考中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 1．（2023·江苏南通·统考一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．（2023