数学（全国乙卷）（理科）-学易金卷：2024年高考第一次模拟考试

2024年高考数学第一次模拟考试 高三数学（理科） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．是函数的一个周期 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最小值为1 5．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 6．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲､乙两人在处相遇的概率为 D．甲､乙两人相遇的概率为 7．已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，] 8．已知实数满足，其中，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 10．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 14．在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 . 15．在中，，，当取最大值时， ． 16．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该四棱锥体积的最大值为，则该球的体积为 . 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 6 企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352 (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程； (2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率． 参考数据：，其中， 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 18（12分）．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．    (1)求证：直线平