专题07 函数的应用（二）-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题07 函数的应用（二） 一.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点 二、函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 三、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 四、判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法 (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解． (2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断． 五、有关函数零点的三个结论 (1)若y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)一定有零点． (2)f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． (3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)·f (b)<0⇒函数f (x)在区间[a，b]上只有一个零点． 六、指数函数模型的应用 f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1) 7、 对数函数模型的应用 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1) 8、 函数模型的应用 题型01： 求函数的零点 【典例1】（2023上·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【典例2】（2023上·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期中）已知的零点为1和3，则 ． 【规律方法】 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 题型02： 根据函数零点求解析式中的参数 【典例3】（2023下·湖南株洲·高一统考期中）已知函数的零点是2，则 【典例4】（2022上·广东佛山·高一校联考期中）已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为 . 题型03： 根据函数零点判断函数值的符号 【典例5】（2021上·河南濮阳·高一统考期末）已知是函数的零点，若，则（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【典例6】（2018上·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型04： 零点存在性定理的应用 【典例7】（2023上·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 【典例8】（2023上·山东日照·高一统考期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05： 根据零点所在区间求参数 【典例9】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10】（2022上·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是 ． 【规律方法】 利用零点存在性定理，结合给定区间建立不等式． 题型06： 根据零点个数求参数范围 【典例11】（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 . 【典例12】（2022上·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 . 【规律方法】 已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题． 题型07： 根据一次函数零点分布求参数范围 【典例13】（2020·高一课时练习）已知函数在区间上存在零