4.5.3 函数模型的底用-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 随堂⊙步步夯实 1.已知函数f(x)的图象如 =f(x) 3.用二分法求函数f(x)=1n(x+1)+x-1 图，其中零点的个数与可 在区间[0,2]上的零点，需求精确度为0.01 以用二分法求解的个数 时，所需二分区间的次数最少为 () 分别为 ) A.6B.5C.8 D.7 A.4,4 B.3,4 4.函数f(x)的图象在区间[一1,2]上连续，且 C.5,4 D.4,3 f(-1)>0,f(0)<0,f(2)>0.则函数在区 2.关于“二分法”求方程的近似解，说法正确 间[一1,2]上至少有 个零点， 的是 () 5.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间 A.“二分法”求方程的近似解一定可将y [1,1.5]内的一个零点（精确度0.01）. f(x)在[a,b]内的所有零点得到 B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y=f(x)在[a,b]内的零点 C.应用“二分法”求方程的近似解，y=f(x) 在[a,b]内有可能无零点 D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x) ©温馨提 =0在[a,b]内的精确解 学习至此，请完成配套训练 4.5.3 函数模型的应用 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用 通过函数模型的应用提升数学建 2.收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了 模，直观想象，数学运算素养 解数学建模的过程 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时 [知识点] 几种常见函数模型 占据内存2KB,然后每3分自身复制一次，复 函数模型 函数解析式 制后所占内存是原来的2倍.那么开机后多少 分，该病毒会占据64MB内存(1MB=1024 一次函数模型 f(x)=k.x十b(k,b为常数，k≠0) KB)? 反比例函数模型 f(.x)=飞 十b(k,b为常数且k≠0)》 f(x)=a.x2+bx+c(a,b,c为常 二次函数模型 数，a≠0) ·145 数学·必修第一册 续表 [预习自测] 1.“红豆生南国，春来（枝） 指数型函 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，b≠ 发几枝”，如图给出 840 数模型 0,a>0且a≠1) 了红豆生长时间x 628 (月)与枝数y(枝) 4 对数型函 f(.x)=blog x+c(a,b,c为常数， 的散点图（直角坐标 数模型 b≠0，a>0且a≠1) 系中作出(x,y)对应 幂函数型模型 f(x)=ax”十b(a,b为常数，a≠0) 的点)，那么最符合 红豆的枝数与生长 01234567x月) ?思考1.斜率的取值是如何影响一次函 时间的关系的函数是 ( ) A.指数函数y=2xB.对数函数y=log2x 数的图象和性质的？ C.幂函数y=x3 D.二次函数y=2x 2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何 2.某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单 影响函数的单调性？ 位：年)的关系式为y=alog2(x+1).若这种 动物第1年有100只，则到第7年它们发 展到 ) A.300只 B.400只 C500只 D.600只 3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月 份x满足关系y=a·(0.5)+b,现已知该 厂今年1月份、2月份生产该产品分别为 1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量 为 课堂。互动学案 ● 题型一 指数函数模型 汇思路点拨]“根据规律写出函数关系式y [例1]某城市现有人口总数为100万人，如果 =N(1+p)' 年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数（精确到 0.1万人)： (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120 万人 (精确到1年).（取1.012°=1.127，log1.0121.20 =15). ·146· 第四章指数函数与对数函数 规律方法 思路点拨“代入求Q=10,写出关系式， 指数函数模型的应用 求解。 1.在实际问题中，有关人口增长、银行利 率、细胞分裂等增长率问题常可以用指 数函数模型表示.通常可以表示为y= N(1+p)(其中N为基础数，p为增长 率，x为时间)的形式 2.解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较 大，需要通过阅读找出关键词、句，确定 已知条件是什么，要解决的问题是 什么. (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成 数学符号语言，用数学式子表达文字关 系，进而建立实际问题的数学模型，将 规律方法 其转化成数学问题. 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (3)数理关：建立实际问题的数学模型时， (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般 要运用恰当的数学方法. 都会给出函数的解析式，然后根据实际 3.增长率问题多抽象为指数函数形式，当 问题求解； 由指数函数形式来确定相关的量的值要 (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数 求不严格时，可以通过图象近似求解.用 解析式中的参数，或根据给出的具体情 函数的图象求解未知量的值或确定变量 境，从中提炼出数据，代入解析式求值， 的取值范围，是数学常用的方法之一： 然后根据数值回答其实际意义， ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.设在海拔xm处的大气压强为ykPa,y与 2.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模 x的函数关系可近似表示为y=100e,已 知在海拔1000m处的大气压强为90kPa, 超=一益为时问单位： 。为环境温度，0，为物体初始温度，0为冷 则根据函数关系式，在海拔2000m处的大 却后温度，单位：℃，k为常数).假设一杯开 气压强为 kPa. 水的初始温度01=90℃，环境温度0。= 题型 对数函数模型 10℃，常数k=6.（参考数据：ln2≈0.7， [例2]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过 冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞 1n3≈1.1) (1)大约经过几分钟水温降为40℃？ 行速度可以表示为函数v=5l0g:8(单位： (2)经过1.8min水温大约降为多少？ m/s),其中Q表示燕子的耗氧量. (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它 的飞行速度是多少？ ·147· 数学·必修第一册 题型以离表信息为背豪的函数应用题 g)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满 [例3]已知某产品市场价格 足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC 与市场供应量P的关系近 是函数y=ka(t≥1，a>0,且k与a是常 似满足P(.x)=21-) 数)的图象 0 (1)写出服药后y关于t的函数关系式： (其中：为关税的税率，且∈[0，》x为市 (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于 场价格，6，k为正常数)，当t=3时的市场供 2g时治疗疾病有效，假如某病人第一次服 药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药 应量曲线如图所示 最迟应在当天几时？ (1)根据图象求b,k的值； (2)记市场需求量为Q,它近似满足Q(x)= 21÷,当P=Q时的价格称为市场平衡价 格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率 的最小值 [思路点拨]首先根据图象求出函数P= f(t)和Q=g(t)的解析式，再由两者得到纯收 益的函数解析式，进而求得函数的最值点. 题型四建立拟合函数模型解决实际尚题] [例4幻为了估计山上积雪融化后对下游灌溉 的影响，在山上建立了一个观察站，测量最 大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续 规律方法 10年的实测资料，如下表所示. 1.解决这类问题的一般步骤：(1)观察图 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行 15.2 28.6 加工，选择适当的函数模型；(3)求函数 10.4 21.1 模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符 3 21.2 40.5 合实际情形. 18.6 36.6 2.建立函数模型解决实际问题的基本思路 26.4 49.8 分析、联想 23.4 45.0 实际问题 抽象、转化 建立函数模型 13.5 29.2 作答 数学推演 16.7 还原 34.1 实际结果 数学结果 9 24.0 45.8 ⊙[变式训练] 10 19.1 36.9 3.某医院研究开发了一种新g (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的 药，据检测，如果成人按规 8 定的剂量服用，服药后每毫 42 B C 图象； 4 (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函 升血液中的含药量y(单位： 0112 的 数模型，并画出图象； ·148· 第四章指数函数与对数函数 (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最 ⊙[变式训练] 大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少 4.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆 公顷？ 论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数 汇思路点拨了“解答本题可首先根据表中数 据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进 据作出散点图，然后通过观察图象判断问 行收集、整理和分析，从而得出一个量化的 题所适用的函数模型. 指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注 程度.对于舆论事件出现的第x天，若某次 舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于 t×9,则认为本次舆情是严重的.某购物平 台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将 舆论事件出现的第1,2,3天的舆论场指数 整理成如下表格： 天数 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提 出了三种函数模型用以刻画数据：①y= ax+b+c:②y=plog,r+g;③y=mXn +s其中含x的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数 规律方法 模型（直接写结果，不用证明）： 对于此类实际应用问题，关键是建立适当 (2)运用(1)中选取的函数模型，预测第4天 的函数关系式，再解决数学问题，最后验证 的舆论场指数； 并结合问题的实际意义作出回答，这个过 (3)若本次舆情不是严重的，求t的最小值 程就是先拟合函数再利用函数解题.函数 拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或 曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有 实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴 “点”不漏，那么这将是个十分完美的事 情，但在实际应用中，这种情况一般是不 会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分 布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相 等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最 贴近”的了. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟 合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进 行预测和控制，为决策和管理提供依据 ·149· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个 (2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使 分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分 年产能不超过2025年的年产能的25%？ 裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关 (参考数据：1g2≈0.301，lg3≈0.477) 系式是 ) A.y=2x B.y=2-1 C.y=2 D.y=2+1 2.已知函数t=-144lg(1- 品)的图象可表 示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达 到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N 表示打字速度（字/min),则按此曲线要达到 90字/min的水平，所需的学习时间是 A.144h B.90h C.60h D.40h 3.光线经过一块玻璃，强度损失10%，那么至少 经过 块这样的玻璃，光线强度能减弱 到原来的5以下.(1g3≈0.477，lg2≈0.3) 4.目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重 影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大 任务.某行业计划从2026年开始，每年的年 产能比上一年的年产能减少的百分比为x (0<x<1). (1)设第n(n∈N*)年(2026年记为第1年) 的年产能为2025年的a倍，请用a,n表 示x; ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 ·150·数学·必修第一册 5 1+ 方程的报应在[1，号]内：又：2习 4 ()()广-2x()+3x子-6<0. 方程的报应在[子号]内门 随堂步步夯实 1.D2.D3.C 4.2 5.解：经计算，f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在[1,1.5]内 存在零点xo, 取区间(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0,因 为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x。∈(1.25,1.5). 如此继续下去，得到函数的一个零，点所在的区间，如 下表： (a,b) (a,b)的中，点 中点函数值 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.3125 f(1.3125)<0 (1.3125,1.375) 1.34375 f(1.34375)>0 (1.3125,1.34375 1.328125 f(1.328125)>0 (1.3125,1.328125)1.3203125f(1.3203125)0 因为11.328125-1.3203125|=0.0078125<0.01，所 以函数f(x)=x3一x一1的一个精确度0.01的近似零 点可取为1.328125. 4.5.3函数模型的应用 课前预习学案 情境引入 提示：2×2”=64X21”,n=15, .需时间为15×3=45分钟. [思考] 1.提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而 增大：<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而 减小， 2.提示：当x>0,>0时，函数的图象在第一象限内是上 升的，在(0，十co)上为增函数；当x>0,<0时，函数的 图象在第一象限内是下降的，在(0，十©)上为减函数. 预习自测 1.A2.A3.1.75万件 课堂互动学案 [例1][解](1)1年后该城市人口总数为： y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100(1+1.2%): 3年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2% =100(1+1.2)3: x年后该城市人口总数为：y=100×(1十1.2%) ·40 (2)10年后该城市人口数为： 100×(1+1.2%)18≈112.7（万）， (3)设x年后该城市人口将达到120万， 即100×(1+1.2%)=120，所以1.012=1.20. 所以x=og1.0121.20≈15（年）.即大约15年后，该城市 人口将达到120万人， [例2][解析](1)由题知，当燕子静止时，它的速度= 0,代入题中的函教关系式，可得0=50g:品，解得Q =10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位 (2)将耗氧量Q=80代入题中给出的函数关系式，得v= 5log:8=5log8=15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度 为15m/s. [例3][解](1)由图象知， 2(-)6-=1, [-)6-=0， 20-)-=2. (-)-o=1 b=5, 1k=6. (2)当P=Q时，有21==21-号， 即1-60)(x-5)=11-号 →2(1-6t)= 22-=17=(5= 17 (x-5)2 (x-5)2 (x-5)2x-5 -5,则21-61)=17m2-m. 1 令m= x≥9，m∈(0，]： 当m=子时，21-60)取装大位号故≥品即税奉的 最小值为192 19 [例4][解](1)描点、作图如图（甲）所示. 50 吃 40 % 30 70 20 y=1.8x+2.2 10 10 1020支 /0 20元 (甲) (亿) (2)从图（甲）中可以看到，数据点大致落在一条直线附 近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度工满足 一次函数模型y=a十bx(a,b为常数且b≠0). 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8) 代入y=a十bx,得 (21.1=a+10.4b, 45.8=a+24.0b, 用计算器可得a≈2.2，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y=2.2十1.8.x. 作出函数图象如图（乙），可以发现，这个函数模型与已 知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深 度与灌溉面积的关系， (3)由y=2.2+1.8×25,求得y=47.2,即当积雪深度为 25cm时，可以灌溉土地47,2公顷. 变式训练 1.解析：将(1000,90)代入y=100e,可得a=血09， 10003与 x的函数关系可近似表示为y=100e,当x=2000 时，y=100(eo.9)2=81. 答案：81 2解：0由意含可得1=-6加98-6h音=-60n 3-3ln2)≈-6×(1.1一3×0.7)=6，故大约经过6min 水温降为40℃。 8-10 (2)由题意可得1.8=-61n90-10 -10=ln -1 .ln90-10 0 8 =-0.3, 即n(品-1）-ln8=-0.3 ln(0-1=3h2-0.3≈1.8e1n2+ln3=n6, ∴.≈70，故经过1.8min水温大约降为70℃. 3.解：(1)当0≤t1时，y=8t: 当t≥1时，将A(1,8),B(2,4√2)代入y=ka, 得a 之，k=82 8t,0≤t<1, 所以y= (2)设第一次服药后最迟经过th第二次服药， 依题意有t≥1. 所以8Ex(=2 解得t=5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5h,即当天上 午11：00服药： 4.解：(1)选③， 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合 指数函数性质，故选③. (2)将表格数据代入y=m×n十s,得 m·n+s=12, ,m=6, m·n十s=48,解得 n=3, 7m·n3+s=156, (s=一6， 故函数模型为y=6×3一6， 则第4天的舆论场指数为6×3一6=480. (3)若本次舆情不是严重的，则6×3一6≤t×9恒 成立 则6X3”-6≤1X3产，故两边同时除以3产，得号- 6 ≤t, ·40 参考答案 6k≤t,整理得6k2一6k十t≥0， 由于y=6-6k+1在∈(0，号]上单词递减，故只需 要当=了时，60-6k十≥0成立即可， 代入得号-2+≥0，解得≥专， 故1的藏小值为学 随堂步步夯实 1.D2.A 3.16 4.解：(1)依题意得(1一x)”=a,则1一x=a, 所以x=1-a(n∈N"). (2)设第m年的年产能不超过2025年的年产能的25%， 则(1-10%)≤25%， 即（品r<}mg品≤lg子m2lg3-1-2g2. 1 21g 2 m≥1-21g3 2X0.301=22,所以m≥0 因为=21g3≈-2×0.477 23 因为18<器<14，且m∈N 所以m的最小值为14， 所以至少要到2039年才能使年产能不超过2025年的产 能的25%. 章末归纳提升 归纳提升 [例1][解](1)原式= a言(a-8b) (2b7)2+2a3b京+(a吉) a -Xatbi-ai(a-s86)xaixaibi-ad6. ai-26 a-8b (2)解法-宁器告g5+gV2丽 =s9-g4+g76=(色9××75 7 =1gv而=2g10=2 解法二：原式=合(5lg2-21g7)-号·号g2+ 号(2g7+1g5)=号g2-1g7-2g2+1g7+71g5 =g2+2g5 =2g2+1g5)=2g10=2 [例2][解析](1)f ◆y (5）>2a 2 1 成立的图象是向上凸的，如 图所示，故只有y=logx满 2 足，故选B. 9