精品解析：上海市松江区2024届高三上学期期末质量监控数学试题

松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知全集，集合，则集合________． 2. 双曲线右焦点坐标是________． 3. 已知复数（其中是虚数单位），则________ 4. 已知向量，，则________ 5. 已知，，则的值为________ 6. 已知，则的最小值为________ 7. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 8. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________． 9. 在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长________． 10. 已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是________． 11. 若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则________． 12. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （ ） A. 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数； B. 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值； C. 甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差； D. 乙队数据第75百分位数为27． 15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确 ②错误 C. ①错误 ②正确 D. ①、②都错误 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 18. 已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且． （1）证明：； （2）若集合，求集合中的元素个数． 19. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. （1）请写出普通居民年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； （2）已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 20. 已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由； （3）若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值． 21. 已知函数，记，． （1）若，判断函数的单调性； （2）若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知全集为，集合，则集合________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】由于，全集为， 所以. 故答案为： 2. 双曲线的右焦点坐标是________． 【答案】 【解