专题27.1 相似（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题27.1 相似（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】比例线段定义： 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【知识点2】比例线段的性质 （1）基本性质：； （2）合比性质：⇔＝； （3）等比性质：； 【知识点3】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【知识点4】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 即如图所示，若∥，则，. 【知识点5】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【知识点6】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点7】相似多边形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【知识点8】相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【知识点9】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【知识点10】相似三角形的常见模型 “A”型 斜“A”型 “母子型”字型 “X”型 斜“X”（蝴蝶）型 射影定理模型 一线三直角型 一线三等角 【知识点11】位似图形的定义性质与画法 1. 定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 2. 位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3. 位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 【考点一】比例的基本性质与成比例线段 【例1】（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，已知，，且，求，的长．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 解：∵ ∴ 设 ，则 ，． 【点拨】本题考查平行线分线段成比例．熟记相关结论即可． 【举一反三】 【变式1】（2018上·广东深圳·九年级校联考期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可设，，代入分式计算化简即可得出答案． 解：∵， ∴可设， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查比例的性质，熟悉等比设参的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·上海·九年级假期作业）（1）是和的比例中项，则 ； （2）是和的比例中项，则 ； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 ． 【答案】 厘米 【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可． （2）根据比例中项的定义即可求解． （3）根据比例中项的定义即可求解． 解：（1）由题意可知， 由此， 所以； 故答案为：． （2）由题意可知， 可解得； 故答案为：． （3）因为、都为线段， 因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）． 故答案为：厘米． 【点拨】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别． 【考点二】黄金分割 【例2】（2022上·四川宜宾·九年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1． （1）求的长； （2）若令，，记，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）5050 【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解； （2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整理有， ∴解得：，（负值不符合题意，舍去） 即的长为：； （2）∵，， ∴， ∴， ， 同理可得：， ∴， 即答案为：5050． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值以及黄金分割的概念等知识，掌握分式的化简求值是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其