4.2.1 &4.2.2等差数列的概念 等差数列通项公式 2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

4.2.1 &4.2.2等差数列的概念 等差数列通项公式 【考点梳理】 考点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 考点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 考点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 考点四：从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 等差数列的性质 考点一：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（2023下·辽宁大连·高二大连八中校考）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 2．（2023下·甘肃天水·高二统考期末）在数列中，，，若，则等于（    ） A．671 B．673 C．674 D．675 3．（2022下·北京海淀·高二中关村中学校考期中）已知数列中，，，则等于（　　） A． B．12 C． D．16 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 4．（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·江苏扬州·高二校考开学考试）已知数列的通项为，则（    ） A． B．8 C．10 D． 6．（2022·高二课时练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 题型三：等差中项及应用 7．（2022上·甘肃兰州·高三兰州市外国语高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 9．（2023下·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 . 题型四：等差数列性质的应用 10．（2023上·甘肃白银·高二校考期中）已知等差数列满足，则 . 11．（2023·高二课时练习）在等差数列中，，则 . 12．（2022上·天津河东·高二统考期末）已知数列满足，则等于 ． 题型五：等差数列的应用 13．（2022·四川绵阳·统考三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 14．（2021上·陕西汉中·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬