第二十八章 锐角三角函数（知识归纳+题型突破）（六大题型，100题）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （知识归纳+题型突破） 1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数()，知道的三角函数值． 2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 知识点二 ：解直角三角形 3.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 4.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. 知识点三 ：解直角三角形的应用 5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角． 6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： （1） 叠合式 （2）背靠式 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.例如17年14年中考题 题型一正弦的定义及应用 【例1】（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图所示：    设小正方形边长为， ，，， ， ∴是直角三角形， 在中，， 故选：B． 巩固训练： 1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都扩大5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：D． 2．（2023下·浙江杭州·九年级统考期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【详解】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 3．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 4．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角函数的定义．先证明是直角三角形，再利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 5．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在中，，那么的值是（    ） A