第10讲 等腰三角形、直角三角形-2024年中考数学一轮复习精讲与精练（全国通用）

2024中考数学一轮复习 (全国通用版) 2024中考数学精讲与精练（全国通用版） 第十讲 等腰三角形、直角三角形 考点1：等腰三角形的定义、性质、判定 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 考点2：等边三角形的定义、性质、判定 1．等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形是等边三角形． AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的三边相等。 性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。 性质3：三线合一 性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 考点3：直角三角形的定义、性质、判定 1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2. 直角三角形的性质： 性质1：（边关系）勾股定理：（如图①） 性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余： 性质3：（边角关系）三角函数 性质4：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图③）； 符号语言： 性质5：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（如图②）． 符号语言： 3.直角三角形的判定方法： 方法1：通过计算证明一个角为90°； 方法2：证明三角形中有两个角的和互余； 方法3：勾股定理的逆定理； 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 方法4：利用圆的知识（直径对的圆周角是直角）证明； 方法5：利用等腰三角形三线合一证明垂直（即90°）； 符号语言： (如右图) 方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。 等腰三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法是初中数学的核心之一，是中考数学考查的重点。它们可以和四边形、方程、不等式、函数等任何的知识搭配综合，难度一般较大。 例题1．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A．C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【感悟】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，综合运用这些知识点是解题的关键． 例题2．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可． 【详解】解：由作法可得垂直平分， ， ， ． ，， ， ， 如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故选B． 【