圆锥曲线二级结论正交半径讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线正交半径 圆锥曲线中，从O点发出的两条互相垂直的射线，交圆锥曲线于P，Q两点，我们把OP和OQ，称之为正交半径。它们有以下结论 椭圆 一．正交半径，斜切定圆 椭圆中，若OPOQ，则直线OP__________________ 1. 设椭圆，过点O做两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值。 2. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 3. 如图，椭圆C：的顶点为，焦点为，,. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 二．正交半径，弦长范围 当OP⊥OQ时，弦长PQ的取值范围_______________ 4. 设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点． （1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值． 5. 设椭圆E：的左右焦点F1，F2分别是双曲线＝1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由． 三．正交半径，面积范围 6. 已知AB是过椭圆C:中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，若M是l与椭圆C的交点，求△AMB的面积的最小值。 7. 过原点O做两条互相垂直的直线分别与椭圆C:交于A，C与B，D，则四边形ABCD的面积的最小值是____________ 四．倒和定值 当OP⊥OQ时，则__________ 双曲线 由于椭圆和双曲线方程的相似性，故双曲线的很多结论可以由椭圆变形而来 8. 已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率e＝2，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且＝0，求证：是定值． 9. 已知双曲线x2﹣＝1，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点． （1）若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形OMAN的面积为定值； （2）若OA⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，求点D的轨迹的长度． 抛物线 10. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点重合． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：x＝ty+8交抛物线C于A、B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O． 11. 设A，B是抛物线C：y2＝4x上两个不同的点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为﹣4，则下列结论正确的有（　　）(多选) A．|AB|≥4 B．|OA|+|OB|＞8 C．直线AB过抛物线C的焦点 D．△OAB面积的最小值是2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线正交半径 圆锥曲线中，从O点发出的两条互相垂直的射线，交圆锥曲线于P，Q两点，我们把OP和OQ，称之为正交半径。它们有以下结论 椭圆 一．正交半径，斜切定圆 椭圆中，若OPOQ，则直线OP恒与圆相切，换言之，O到直线PQ的的距离恒为定值. 1. 设椭圆，过点O做两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值。 【分析】此题有以上结论，答案可直接套用结论 【解答】证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x＝±， ∴原点O到直线AB的距离为， 当直线AB斜率存在时，设直线的方程为y＝kx+m， 联立，得， ∴， ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0， ∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0， ∴（k2+1）， 整理，得7m2＝12（k2+1）， ∴原点O到直线AB的距离d＝为定值 2. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 分析：第一问可以设出各个点坐标，通过点到直线距离公式得出a与b关系； 第二问符合结论，但要注意在第一问中已经得到a和b的关系，在第二问中需要统一用字母b表示。 【解答】解：（I）由题设AF2⊥F1F2及F1（﹣c，0），F2（c，0）， 不妨设点A（c，y），其中y＞0． 由于点A在椭圆上