考点04 平面向量讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点04 平面向量 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定） (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．平面向量的坐标运算 1.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 2.向量加法、减法、数乘及向量的模 设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. 3． 向量在平面几何中的应用 （1） 线平行、点共线：∥⇔＝λ⇔x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0 （2） 垂直：⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量 （3） 夹角：(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量 （4） 长度：||＝＝，其中＝(x，y)，为非零向量 4．向量的夹角 （1）已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π] （2）夹角cos θ＝＝ 5．平面向量的数量积 （1）定义：设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作· （2）投影：||cos θ叫做向量在方向上的投影，||cos θ叫做向量在方向上的投影 （3）几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积 6．向量数量积的运算律 (1)·＝·. (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·. (3)(＋)·＝·c＋· 三．向量的线性运算 （一）加法：求两个向量和的运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 3.运算律 交换律：＋＝＋ 结合律：(＋)＋＝＋(＋) （2） 减法 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 四．数乘：求实数λ与向量的积的运算 1.数乘：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；当λ<0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 2.运算律 （1）λ(μ)＝(λμ) （2）(λ＋μ)＝λ＋μ （3）λ(＋)＝λ＋λ 3．向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 4．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 五．易错点 1.向量数量积不满足： ①消去律，即·＝·⇏＝ ②结合律，即(·)·⇏·(·)． 2.·＝0不能推出＝0或＝0，因为·＝0时，有可能⊥ 3.·＝·(≠0)不能推出＝，即消去律不成立． 4.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 5.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 6.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． 7.非零向量与的关系：是与同方向的单位向量．　 考点一 向量的坐标运算 【例1-1】（2023·河南新乡·统考一模）已知向量，，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【例1-2】（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）设，，，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023上·山西太原·高三统考期中）已知，，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2023·山东·统考一模）已知向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点二 数量积 【例2-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知向量均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2022·全