放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)讲义-2023届高三数学二轮复习

放缩法在解答数列题中的应用技巧 (十一种放缩方法全归纳) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩. 一、放缩技巧 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 二、经典试题解析 (一)、经典试题 01、裂项放缩 1.(1)求的值; (2)求证:. 2.求证:. 3.求证:. 4.求证: 5.求证: 6.求证:. 7.已知,求证: . 8.已知,,求证:. 9.已知,,求证:. 02、函数放缩 10.求证:. 11.求证:. 12.求证:. 03、分式放缩 13.证明姐妹不等式:和 (也可以表示成为和) 14.证明: 04、分类放缩 15.求证:. 16.在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,. (1)证明>>4,; (2)证明有,使得对都有<. 17.已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论. 18.设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 05、迭代放缩 19.已知,,求证:当时,. 20.设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<. 06、借助数列递推关系 21.求证:. 22.求证: 07、分类讨论 23.已知数列的前项和满足,,证明:对任意的整数,有. 08、线性规划型放缩 24.设函数.若对一切,,求的最大值. 09、均值不等式放缩 25.已知,求证:. 26.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证: 27.已知为正数,且,试证:对每一个,. 10、二项放缩 ,, 28.已知证明. 29.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:. 30.已知函数fx的定义域为[0,1],且满足下列条件:① 对于任意[0,1],总有,且;② 若则有 (1)求f0的值; (2)求证:fx≤4; (3)当时,试证明:. 31.已知:,求证:. 11、部分放缩(尾式放缩) 32.求证: . 33.设求证: 34.已知数列的首项,,、、. (1)证明:对任意的,,、、; (2)证明:. 12、经典题目方法探究 35.已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:. 36.设函数,如果对任何,都有,求的取值范围 37.若,其中且,,求证:. 38.已知函数,若对任意恒有,求的取值范围. 39.证明:. 40.已知证明. 41.已知函数,若证明 42.已知函数是在上每一点处均可导的函数,若在上恒成立. ( )①求证:函数在上是增函数; ②当时,证明:; ( )已知不等式在且时恒成立,求证: 43.若,求证:. 44.求证:. 45.已知,求证: 46.已知,求证: 47.若,求证:. 48.已知函数,.对任意正数,证明:. 49.求证:. (二)、详细解析 1. 【分析】 (1)根据裂项相消求和即可; (2)根据放缩再求和即可 【详解】 (1)因为, 所以 (2)因为, 所以 2.【分析】 根据放缩后利用裂项相消求和即可 【详解】 因为, 故 , 故 3. 【详解】 由 根据得 所以 4. 【分析】 利用分式放缩法证明出,进而利用数学归纳法证明 即可. 【详解】 由, 得, 所以, 要证, 只需证, 下面利用数学归纳法证明: 累加相消,可得. 故得证. 6. 【分析】 先证右边,根据放缩,再证左边,根据放缩,讨论和时的情况即可 【详解】 一方面: 因为, 所以 另一方面: 当时,,成立 当时,, 当时,, 所以综上有 7.【分析】 由分析可知要证明的不等式等价于 ,只需证,即,证明对于恒成立,即可求证. 【详解】 首先可以证明: 令,则, 当时,恒成立,符合题意; 当时,由可得, 因为,所以,可得在单调递增, 由可得,可得, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以,即对于恒成立, 因为 ,所以要证, 只要证:, 只需证, 只需证, 即等价于,, 因为,所以和显然成立, 所以原命题成立. 8. 【分析】 由题意求出,通过化简、裂项求得,进而可证明. 【详解】 所以 从而 9. 【分析】 分奇偶代入,再根据与放缩求和即可 【详解】 证明: , 因为 ,所以 所以 10. 【分析】 观察不等式,构造函数不等式,变形得, 累加,再放缩即可得证. 【详解】 先构造函数,,易知在递增,在递减, 所以 所