精品解析：山东省青岛第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

青岛二中2023-2024学年第一学期期中考试——高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合则 A. B. C. D. 2. 已知命题p：，方程有解，则为（ ） A. ，方程无解 B. ，方程有解 C. ，方程无解 D. ，方程有解 3. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ） A. B. C D. 5. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列各组函数中，不能表示同一函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数有4个单调区间 11. 关于函数性质描述，正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图象关于对称 D. 在定义域上是增函数 12. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，的最小值为9． B. 若，的最小值为4 C. 若，的最小值为 D. 若，的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设函数，若，则实数________； 14. 设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为________； 15. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为________； 16. 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数m是否存在？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 18. 设函数是增函数，对于任意都有． （1）证明是奇函数； （2）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数a的取值范围． 19. 已知，． （1）关于x的方程有两个正根，求实数a的取值范围； （2）解不等式． 20. 新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 21. 已知幂函数是其定义域上的增函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 22. 已知函数为定义在上的奇函