第四章 数列（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列（知识归纳+题型突破） 1、能够结合具体实例，了解数列的概念，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这 类函数的解析表达式，掌握通项公式与前项和公式的关系. 2、通过等差数列和等比数列的研究，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，感悟数列是 可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数列是一种特殊的函数，体会 等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，体会数学的整体性. 3、能运用数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用. 4、重点提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养. 1、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 2、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； (1)求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； （2）求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 3、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 4、等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 5、等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 6、等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 7、等差数列的性质 (1) （2）若，则（特别的，当，有） 8、等差数列的前项和公式 (1)首项为，末项为的等差数列的前项和公式 （2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式 9、等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 10、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 11、等比数列的判断（证明） （1）定义：（或者）（可判断，可证明） （2）等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） （3）通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 12、等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 13、等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 14、等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 题型一 等差数列基本量计算 【例1】（2023上·高二课时练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 反思总结：等差数列基本量计算主要考查等差数列通项公式和前项和公式；解题时重点是求出和，然后应用公式求解。 巩固训练 1．（2023上·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和： (1)7，5，3，1，，…； (2)，，； (3)，，. 2．（2023上·高二课时练习）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)求． 题型二 等比数列基本量计算 【例2】（2023上·高二课时练习）已知为等比数列． (1)若，，求； (2)若，，，求． 反思总结：等比数列基本量计算，主要是考查等比数列通项公式和前项和公式；主要是计算出和，然后再带入公式计算。 巩固训练 1．（2023上·高二课时练习）求下列等比数列的前项和： (1)1，，，，…； (2)，，； (3)，，． 2．（2023上·高二课时练习）在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 题型三等差数列判断与证明　 【例3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； 反思总结：证明一个数列是等差数列的方法主要有定义法和等差中项法，本题主要使用等差数列定