精品解析：河南省实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

河南省实验中学2023-2024学年上学期期中 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线：，则在轴上的截距为（ ） A B. C. 1 D. 2. 已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若3，则Q的坐标是（ ） A. （﹣3，﹣2，﹣5） B. （3，4，1） C. （﹣4，﹣1，0） D. （2，5，6） 3. 已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A. B. C. D. 4. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 6. 若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 短轴长是3 B. 的周长为15 C. 离心率 D. 若，则的面积为9 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 点到直线的最大距离为 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 12. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若保持，则点在底面内运动路径的长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则二面角余弦值的最大值为 D. 若则与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线，，若，则实数______． 14. 已知，则点到平面的距离为___________． 15. 在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为___________． 16. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是___________． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余试题每题12分） 17. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 20. 给出双曲线. （1）求以为中点的弦所在的直线方程； （2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程. 21. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 22. 已知椭圆离心率为，点在上． （1）求方程； （2）过点的直线交于点，两点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省实验中学2023-2024学年上学期期中 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单