专题26.1 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题26.1 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 【知识点二】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来om] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点三】反比例函数表达式的确定 待定系数法步骤： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点四】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点五】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点六】反比例函数中的三个模型 【考点目录】 【考点一】反比例函数➼➼➻有关概念 【考点二】反比例函数➼➼➻求反比例函数的解析式 【考点三】反比例函数➼➼➻反比例函数系数K值的几何意义 【考点四】反比例函数➼➼➻反比例函数系数与一次函数综合 【考点五】反比例函数➼➼➻反比例函数与几何综合 【考点六】反比例函数➼➼➻反比例函数的应用 【考点一】反比例函数➼➼➻有关概念 【例1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 解：∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 【举一反三】 【变式1】（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可． 解：∵是反比例函数， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【变式2】（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）反比例函数经过这两个点，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，熟知反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，即反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积等于比例系数是解题的关键． 解：∵反比例函数经过这两个点， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点二】反比例函数➼➼➻求反比例函数的解析式 【例2】（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． （1）求该反比例函数解析式； （2）请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，解一元二次方程， （1）首先将代入求出，然后代入求出，进而得到； （2）首先联立反比例函数和一次函数得到，求出，，得到，然后利用图象求解即可． 解题的关键是熟练掌握函数图像和性质． 解：（1）将代