第36讲 双曲线的定义与标准方程　讲义——2024届高三数学一轮复习

第36讲 双曲线的定义与标准方程 一．知识精讲 知识点一：双曲线的定义 1．平面内与两个定点的 等于 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 【注意】 （1）在此定义中，“常数要大于且小于”这一限制条件十分重要，不可去掉． （2）如果定义中常数改为等于，此时动点轨迹是以为端点的两条射线（包括端点）． （3）如果定义中常数改为大于，此时动点轨迹不存在． （4）如果定义中常数改为等于，此时动点轨迹为线段的垂直平分线． （5）如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支． （6）定义中“平面内”这一前提条件也不能去掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了． 知识点二：双曲线的标准方程 标准方程 图象 焦点坐标 注意： （1）当项的系数为正、项的系数为负时，焦点在轴上；反之，焦点在轴上；即焦点跟着“正的跑”． （2）大小关系不定,与椭圆规定不同； （3）之间的关系： 二．经典例题 题型一：双曲线的定义 【例1】下列命题是真命题的是_______．（将所有真命题的序号都填上） ①已知定点则满足的点的轨迹为双曲线； ②已知定点，则满足的点的轨迹为双曲线； ③到定点距离之差的绝对值等于的点的轨迹为双曲线； ④若点到定点的距离的差的绝对值等于点到点的距离，则点的轨迹为双曲线． 【变式】说明下列方程表示什么曲线：； （1）； （2）； （3）． 题型二：双曲线的标准方程 【例2】求下列双曲线的标准方程 （1），焦点在轴上； （2）焦点为，经过点； （3）半实轴，经过点，焦点在轴上； （4）经过点， ． 【变式】求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于； （2）与椭圆共焦点且过点． 【例3】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 【变式1】若方程表示焦点在轴上的双曲线，求实数的取值范围． 【变式2】设，则关于的方程的表示的曲线是（ ） A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【拓展】方程表示的曲线为，给出下列四个命题： ①曲线不可能是圆； ②若，则曲线为椭圆； ③若曲线为双曲线，则或； ④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 其中正确的命题是_ ___ 【例4】已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的动点． （1）若点，求的最小值； （2）若点，求的最小值． 【变式】为双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【拓展】如图所示，圆与轴的两个交点分别为，以为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在轴左方的交点分别为，当梯形的周长最大时，求此双曲线的方程． 题型三：双曲线的焦点三角形 【例5】如图，若是双曲线的两个焦点． （1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离； （2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 【变式】设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的周长及的面积． 【拓展】已知是双曲线上的一点，分别为左，右焦点，，求的面积． 题型四：双曲线的综合应用 【例6】已知为原点，在轴上，设以为右焦点的双曲线经过点，若的面 积为，，，求当取得最小值时的双曲线的标准方 程． 【变式】设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． （1）求圆的圆心轨迹的方程； （2）已知点，且为上的动点，求的最大值及此时点的坐标． 【例7】设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求此双曲线的标准方程． 【变式】求与椭圆有公共焦点的双曲线的标准方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形面积最大． 课后作业 一．基础过关 1．设是双曲线的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，则点的焦点的距离是（ ） A． B． C．或 D．不存在 2．若点是以为焦点的双曲线上的一点，且（ ） A． B． C．或 D．或 3．已知双曲线的方程为，点在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，为另一焦点，则的周长为 （ ） A． B． C． D． 4．若双曲线的左支上一点到直线的距离为，则的值为（ ） A． B．