清单08 抛物线及其性质（7个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单08 抛物线及其性质（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【考点精讲】 考点一：抛物线的定义与方程 例1．（2023·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例2．（2023·黑龙江·高二统考期中）若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期中）若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（    ） A． B． C．2 D． 例4．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例5．（2023·吉林辽源·高二校考期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）过点; （2）焦点在直线上. 例6．（2023·上海静安·高二上海市民立中学校考期中）根据下列条件分别写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）焦点到准线的距离为，焦点在轴的正半轴上. 例7．（2023·河南商丘·高二校联考期末）根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)； (2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5. 考点二：抛物线的轨迹方程 例8．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 例9．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 例10．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 例11．（2023·江苏·高二假期作业）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是 ． 例12．（2023·高二课时练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 例13．（2023·天津·高二统考期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的差是4，则点M的轨迹方程为 . 例14．（2023·河北唐山·高二唐山一中校考期中）若动点与定点的距离和动点与直线的