4.2.1等差数列概念第二课时——等差数列的证明与性质-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.能用等差数列的定义证明等差数列. 2.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 3.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 4.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 01 复习导入 复习回顾 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式 3. 等差中项 an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 这三个数满足关系式： A= d= 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 4. 等差数列的函数特征 02 等差数列的证明 新知探究 例1.已知数列满足，记.求证：数列是等差数列. 证明：(法一：定义法)∵ ∴为常数(). 又 ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 新知探究 证明：(法二：等差中项法)∵ ∴ ∴ 新知探究 方法技巧： 判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：(常数)()为等差数列. (2)等差中项法：为等差数列. 新知探究 03 等差数列的性质 新知探究 1. 等差数列的通项公式 an =a1+(n-1)d 推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*) 首末项两项之间的关系 任意两项之间的关系 斜率 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝… 2.等差数列的对称性 有穷等差数列中，首末两项“等距离”的两项之和等于首项和末项的和 新知探究 设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*) 特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*) 3.等差中项的推广 注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立. 例如， 但；，但 新知探究 4.等差数列的运算性质 d cd 2d 等差数列 新知探究 例1.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. l 解(1)：设数列的公差为. 由题意可知，，，于是 ∵，所以，∴. ∴. 所以，数列的通项公式是. 新知探究 (2)：[方法一]数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则. 令解得 所以，是数列的第8项. [方法二]∵令， 解得所以，是数列的第8项. 新知探究 例2.已知数列是等差数列，且， 则 解：∵在等差数列中,若 则，∴ 由条件等式，得 ∴ 新知探究 练习.已知等差数列中，，则的值为( ). A.10 B.-10 C.15 D.-15 解：[方法一]设等差数列的公差为，则 ，即. 故. [方法二]由等差数列的性质知，则 故. B 新知探究 例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式； (2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值． 解：(1)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，① 又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②，由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由an＝a3＋(n－3)d得an＝2n－7或an＝－2n＋13. （2）方法二：∵{an}为等差数列，观察可得：4a60=a15+3a75， ∴4×20=8+3×a75,求得a75=24 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 例5.某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第1年起，第年的利润为，则， ， ∴每年的利润可构成一个等差数列，且公差， ∴ 故从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 04 课堂小结 课堂小结 练习：已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？ 解：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b. 又因为a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2