4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时） 学习目标 1 2 3 理解等差数列的通项公式与前 <m></m> 项和公式的关系 理解并能应用等差数列前 项和的性质，培育逻辑推理、数学运算的核心素养； 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 复习回顾 2.在上一节中我们学习过了等差数列的哪些性质？ 1.等差数列的前n项和公式: “知三求二” 性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 性质2 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列. 那么，结合等差数列的前n项和公式，等差数列还会哪些性质？ 新课讲授 问题7 已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r为常数，且p≠0.任取若干组p,q,r,在电子表格中计算a1,a2,a3,a4,a5的值(图已给出p=1,q=2,r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. 图中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值. 多给p,q,r取几组值，看看有什么规律？ 新课讲授 证明： 结论：若数列{an}的前n项和是一个不含有常数项的二次函数，则该数列是等差数列. 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 学以致用 教材P24 [例2] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 例题再现 思考 对于上节课的这道例题中的等差数列，还有其他解法求Sn吗？ 解法1： 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 学以致用 教材P23 利用性质4还可以怎样解？ 新知探究 证明： 教材P25 性质5 典例分析 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质5还可以怎样解？ 解法2： 新知探究 问题1 证明： 性质6 典例分析 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质6还可以怎样解？ 解法3： 学以致用 教材P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 问题2 通过解决本题，等差数列又会有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？ 如果一个等差数列的项数为偶数，又会怎样呢？ 新知探究 问题2 通过解决本题，等差数列又会有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？ (1)若一个等差数列的项数为奇数，设其项数为2n+1，则 最中间一项 性质7 新知探究 问题2 通过解决本题，等差数列又会有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？ (2)若一个等差数列的项数为偶数，设其项数为2n，则 性质8 新知探究 问题3 如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，Sn、Tn分别是它们前n项和，那么S2n-1与T2n-1会有什么关系？ 性质9 能力提升 题型一 利用数列的前 项和判断等差数列 例题 1.已知数列的前项和 . (1)求数列 的通项公式； (2)判断 是不是等差数列，并说明理由. [解析] （1）当时， ； 当时， ， 又不满足上式， （2）解法一：，，， ， 不是等差数列. 解法二： 等差数列的前项和 ， 当时，其是不含常数项的二次函数， 不是等差数列的前项和的形式， 不是等差数列. 能力提升 题型二 “奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 例题 2.设等差数列，的前 项和分别为，，若，则 ( ) [解析] ， ， 所以 . D A. B. C. D. 能力提升 题型二 “奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 例题 3.已知等差数列，的前项和分别为， ，，则 等 于( ) A. B. C. 1 D. 2 [解析] 由等差数列的前 项和公式以及等差中项的性质得 ，同理可得 ， 因此， ，故选A. A 能力提升 题型二 “奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 例题 4. 在项数为 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则 等于( @25@ ) A. B. C. D. B [解析] 设该数列奇数项和与偶数项和分别为 <m></m> , <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 能力提升 题型二 “奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 例题 5.在等差数列中， ，且在这10项中，，则公差 ___. 2 [解析] 由 得 所以 ， 所以 . 能力提升 题型三 “片段和”性质的应用 例题 6. 已知为等差数列，若， ， 则 ____. [解析] 解法一（“片段和”性质法）记的前项和为， 因为 是等差数列，所以，，， ， 成等差数列， 设此数列的公差为，则，所以 ， 所以 . 解法二（基本量法）设数列的公差为 ，则 ， 所以 ， 故 . 解题感悟 能力提升 在等差数列中，解决前 项和的问题，有时可以利用公式列出关于 和 的方程（组），进而求解. 有时也可以利用“片段和”性质，用此性质可简化运算. 课堂小结 等差数列的前n项和公式的性质 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 性质5 性质6 性质7 性质8 性质9 ∵ 是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列， ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， $$