4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 　 第四章　4.2　等差数列 知识层面 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意 义，体会等差数列与一元一次函数的关系．　 2.掌握等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列的 判断与证明方法. 素养层面 通过理解等差数列的概念，培养数学抽象的素养；通过等差数列通项公式的应用及等差数列的判断与证明培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等差数列的概念 1 知识点二　等差中项 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　等差数列的通项公式 3 知识点一　等差数列的概念 返回 问题导思 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．   (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63； (2)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； (3)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986； (4)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：对于(1)，我们发现18－9＝9，27－18＝9，36－27＝9，45－36＝9，54－45＝9，63－54＝9，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；对于(2)，24.5－25＝－0.5，…；对于(3)，1758－1682＝76，…，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062.对于(4)，10－10＝0，有同样的取值规律． 新知构建 等差数列的概念 文字 语言 如果一个数列从第___项起，每一项与它的________的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的公差，公差通常用字母___表示 符号 语言 an＋1－an＝___(d为常数，n∈N*) 2 前一项 同一个常数 常数 d d 微思考 等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． 例1 (链教材P15练习T1)判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； 解：是，a1＝1，d＝2； (2)9，6，3，0，－3，…； 解：是，a1＝9，d＝－3； (3)1，3，4，5，6，…； 解：不是； (4)7，7，7，7，7，…； 解：是，a1＝7，d＝0； (5)1， ，…. 解：不是 规律方法 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 对点练1.(1)(多选)下列数列是等差数列的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C． D．－3，－2，－1，1，2 由等差数列的定义得，对于A项，d＝0，故是等差数列；对于B项，d＝3，故是等差数列；对于C项，d＝ ，故是等差数列；对于D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．故选ABC． √ √ √ (2)(2024·江西余干高二月考)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an} A．是公差为1的等差数列 B．是公差为 的等差数列 C．是公差为－ 的等差数列 D．不是等差数列 由3an＋1＝3an＋1，得an＋1＝an＋ ，即an＋1－an＝ ，所以数列{an}是公差为 的等差数列．故选B． 返回 √ 知识点二　等差中项 返回 问题导思 问题2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．反之，a，b，c为等差数列，则有2b＝a＋c. 新知构建 等差中项 a+b=2A (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝ .(3)等差数列{an}中，an是an－k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 微提醒 例2 (链教材P15练习T5)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝ ＝3. 又a是－1与3的等差中项，所以a＝ ＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝ ＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 规律方法 等差中项的应用策略 1．求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝ . 2．证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． √ (2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是 A．8 B．6 C．4.5 D．3 √ 因为m＋2n＝8，2m＋n＝10，所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以2m－n和2n－m的等差中项是 ＝3.故选D． 返回 知识点三　等差数列的通项公式 返回 问题3.你能根据等差数列定义中的递推关系an－an－1＝d(n≥2)，归纳出等差数列的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2) 问题导思 1．等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________． 2．等差数列的通项公式与一次函数的关系 (1)若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． ①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为___，在y轴上的截距为_______． ②这些点的横坐标每增加1，函数值增加___． (2){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为______数列； d<0⇔{an}为______数列；d＝0⇔{an}为常数列． 新知构建 a1＋(n－1)d d a1－d d 递增 递减 (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项．(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝ ，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 微提醒 (链教材P15练习T4)在等差数列{an}中： (1)已知a1＝3，d＝2，求a6； 解：由题意知a6＝3＋(6－1)×2＝13. (2) 已知a1＝1，d＝2，an＝15，求n； 解：由题意知15＝1＋(n－1)×2，解得n＝8. (3)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (4)(2024·陕西西安月考)已知a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，求an. 所以an＝a1＋(n－1)d＝－11＋(n－1)×5＝5n－16，n∈N*. 例3 规律方法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 1．等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． 2．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这样求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 注意 对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式． 对点练3.在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－ ，a7＝8，则a1＝________； 10 由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6× ， 故a1＝10. (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________； (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝________． 返回 58 由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. 综合应用 返回 例4 等差数列的判定与证明的方法 (2024·辽宁铁岭高二期末)已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3(n∈N*)． (1)证明：数列 是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 1．(变条件)本例中若将条件改为“a1＝4，an＝4－ (n≥2)”，结论不变． 变式探究 2．(变条件)本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1”，证明 为等差数列，并求{an}的通项公式． 解：证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以an＝n·2n. 规律方法 等差数列的判定与证明的方法 1．定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列． 2．等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． 3．通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 注意　(1)如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法，通项公式法不能作为证明方法．(2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要说明一个数列不是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可．　　 √ n2(n∈N*) 返回 课堂小结 知识 1.等差数列的概念.2.等差中项.3等差数列的通项公式 方法 1.等差中项的应用策略：定义法. 2.等差数列的通项公式：公式法.3.等差数列的判定与证明：定义法、等差中项法、通项公式法 易错 误区 在等差数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后项与前项的差”、“同一个常数”．同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件 随堂演练 返回 √ 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是 A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．故选ABD． √ √ 2．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ A．0 B．2 C．－1 D．－2 √ 因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2.故选D． 3．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是_______． 46 d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46. 返回 (4n－3)2 课时测评 返回 √ 1．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．90 B．96 C．98 D．100 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以首项a1＝a－1＝1，公差d＝a＋1－(a－1)＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.故选C． 2．(2024·福建三明高二期末)已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为 A．an＝2n－5 B．an＝2n－3 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3，首项为2.故选A． 3．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列 A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因为A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B．又A＋B＋C＝π，所以B＝ ，所以cos B＝cos .故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件可知an＋1－an＝－3.所以该数列为等差数列．公差为－3，这时an＝－3n＋30.所以a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11.故选ACD． √ √ 5．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是 A．该数列为等差数列 B．公差为3 C．a5＝15 D．－3是该数列的第11项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故A正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．故C正确．对于B、D，由2b＝a＋c不一定得到2log2b＝log2a＋log2c与2×2b＝2a＋2c，故B，D项不正确．故选AC． 6．(多选)下列命题中，正确的是 A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，即 解得d＝3. 7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为____． 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数 项，则 解得 <d≤3. 8．已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范 围是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(开放题)(2024·甘肃定西高二质检)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝_______________________． ①{an}是递增的等差数列； ②a1－a3＋2a4＝4. n－1(n∈N*)(答案不唯一) 设公差为d，则d>0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2，不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1(n∈N*)．(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(2024·福建三校协作高二上联考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值；(4分) 解：因为a2＋a4＝2a3，a2＋2a3＋a4＝4a3＝12，所以a3＝3， 又a3＝a1＋2d，a1＝1，所以d＝1， 所以a5＋a7＝2a1＋10d＝12. (2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列．(6分) 解：证明：由(1)可知an＝n， 所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)， 所以数列{bn}是等差数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11．(2024·郑州高二检测)已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am＋n＝am＋an，若a2＝1，则a2 024＝ A．2 024 B．2 023 C．1 012 D．1 011 由am＋n＝am＋an，令m＝1得an＋1－an＝a1，所以数列{an}是以a1为首项，a1为公差的等差数列，从而an＝a1＋(n－1)a1＝na1.因为a2＝1，所以2a1＝ 1，即a1＝ ，a2 024＝2 024a1＝ ＝1 012.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12．(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列 是等差数列，公差为d，则下列结论正确的是 A．a4＝ B．a3＝1 C．d＝ D．d＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设首项为a1，公差为d， 则 解得 所以am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.由于d＝－1<0，所以该数列为递减数列．故正确命题的序号为①②③. 13．(链教材P18T3)在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则下列说法正确的命题序号为________． ①该数列的首项a1＝m＋n－1； ②该数列的公差d＝－1； ③该数列的第m＋n项am＋n＝0； ④该数列为递增数列． ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)(2024·江苏南通高二期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在正整数m，使得a2m＝2am＋1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．(6分) 所以不存在正整数m，使得a2m＝2am＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新定义)在数列{an}中，若a －a ＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．给出下列命题： ①数列{(－1)n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{a }是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的序号为________． ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”． (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”；(5分) 解：证明：因为a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N*， 所以as＋at是数列{an}中的项． 所以数列{an}是“封闭数列”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由．(10分) 解：数列{an}不是“封闭数列”．理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3， 所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－ ∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 数 列 返回 ，，， ，，1，， ＝ － 由(1)知＝＋(n－1)×＝， 解：证明：因为an＝4－(n≥2)，所以an－2＝2－＝， 所以＝1＋(n－1)×1＝n. 4．(2024·山东青岛高二检测)若数列{an}满足＝＋4且a1＝1，an>0，则an＝________． ＝ $$