清单07 双曲线及其性质 （11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单07 双曲线及其性质（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【考点精讲】 考点1：双曲线的定义与标准方程 例1．（2023·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 例2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·高二课时练习）如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用． 例5．（2023·四川成都·高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，且过点． （1）求双曲线的虚轴长； （2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程． 例6．（2023·陕西咸阳·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)一个焦点为，且离心率为； (2)经过两点. 例7．（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； (2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 考点2：双曲线方程的充要条件 例8．（2023·上海·高二上海师大附中校考期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例9．（2023·宁夏银川·高二银川二中校考期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10．（2023·江苏常州·高二校联考期中）方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线不可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 例12．（2023·江苏常州·高二统考期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例13．（2023·河北石家庄·高二校联考期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该