第07讲 二次函数-2024年中考数学一轮复习精讲与精练（全国通用）

2024中考数学一轮复习 (全国通用版) 2024中考数学精讲与精练（全国通用版） 第七讲 二次函数 考点1：二次函数的概念和三种形式 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 考点2：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 考点3：二次函数图象（抛物线）的平移 平移方法：上加下减，左加右减。 考点4：二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 考点5：二次函数的应用题常见类型及解题步骤： 1. 常见类型：（1）拱桥问题；（2）面积问题；（3）利润问题；（4）增长率问题。 2. 解题步骤： （1）审题； （2）设变量和解析式； （3）待定系数法求解析式； （4）利用二次函数性质解决问题； （5）答案。 考点6：二次函数的主要的综合问题类型： 1．线段问题； 2．面积问题；3．角度问题；4．三角形存在性问题；5．特殊四边形问题 6．与圆的综合问题。 二次函数的考点较多，题型比较多，主要分成两个方面，一是对二次函数图象和性质的考查，比如顶点坐标，最值，增减性，这部分主要以选择题和填空形式出现，会结合一次函数，三角形或四边形；二是对二次函数综合运用的考查，一般以解答题形式考查，尤其是每年的压轴题，这值得所有同学重视。 例题1．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 例题2．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 例题3．（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 例题4．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题5．（2023·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（        ） A． B． C．是关于x的一元二次方程的一个根 D．点，在抛物线上，当时 例题6．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ） A．  B．  C． D．例题7．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最