清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 （11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 3、圆的切线方程的求法 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 4、求直线被圆截得的弦长的方法 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 5、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 6、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 7、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 8、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 9、圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 【考点精讲】 考点1：直线与圆的位置关系 例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 例2．（2023·山西太原·高二统考期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 例3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 例4．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·河南信阳·高二统考期中）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（    ） A．若直线l与圆C相切，则 B．若，则直线l与圆C相离 C．若，则直线l与圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 例7．（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点． (1)求中点M的轨迹方程； (2)设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 例8．（2023·云南昆明·高一校考期中）已知圆C： (1)证明：圆C恒过两个点． (2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率． 例9．（2023·广东东莞·高二校