湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024届高三 上学期期中考试数学试题卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 3．在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点是的重心，，，则（    ） A． B． C． D． 5．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（    ） A．100cm3 B．200cm3 C．600cm3 D．800cm3 6．已知是定义在上的偶函数，且对任意，都有，当时，，则函数在区间上的反函数的值（ ） A． B． C． D． 7．已知四边形是以和为底边的梯形，（），，（，是平面内两个非零且不共线向量），则（    ） A． B． C． D．6 8．如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④ 二､多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角 10．把函数的图象先向左平移个单位长度，然后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再向上平移个单位长度后得到函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的解析式为，且是偶函数 B．函数图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为 11．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（    ） A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列” B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差 C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列” D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足 12．若，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知，则的值是 . 14．若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值等于 . 15．在中，的对边分别是，已知，且，则= ． 16．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有 条． 四､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17．已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）证明：当时，. 18．在中，内角的对边长分别为，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 19．设函数.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件①：；条件②：的最大值为；条件③：是图象的一条对称轴. (1)请写出满足的两个条件，并说明理由； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分别为CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且. (1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ； (2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 21．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*． （1）设，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式． （2）设，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明． 22．已知两数． （1）当时，求函数的极值点； （2）当时，若恒成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先根据基本不等式的解法求出集合，然后根据集合并集的运算法则求解. 【详解】解：， 故选：D． 2．C 【分析】依题意先对原式进行化简，可求得，利用共轭复数的定义可得，再利用复数的运算可求得答案. 【详解】由题意得：，则， . 故选：C. 3．