第3章 专题五 辅助圆的构造方法-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第三章　圆 4 专题五　辅助圆的构造方法 5 专题描述：有些几何问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形 提供了某些与圆的性质相似的信息，这时候我们如果根据已知条件添 加辅助圆，再利用圆的性质来解决问题，往往能使问题中原来不清楚 的关系和性质清晰地显现出来，从而简单地解决问题，起到化隐为 显，化难为易的解题效果. 类型一 定点定长构造辅助圆 解题方法：当题目中出现三条或三条以上有公共端点的等长线段时， 它们的另一个端点在以公共端点为圆心的圆上，可以构造辅助圆，从 而运用圆的有关知识解决问题. 典例1[2023江苏南京鼓楼区校级质检]如图，已知四边形ABCD中， AB∥CD，AB＝AC＝AD＝4，BC＝2，求BD的长度. 思路引导：　　　 解： 解： 答案：2 ⁠ ⁠练1－1 [2022山东泰安岱岳区模拟]如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝ 2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　B　） A.68° B.88° C.90° D.112° B 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆 上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC.∵∠CBD＝2∠BDC， ∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°.故选B. ⁠ ⁠练1－2 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE ＝2，△APE沿PE翻折得到△FPE，连接FC，则FC的最小值是______⁠ ⁠，点F到线段BC的最短距离是⁠ ⁠. 2 －2 2 【解析】如图，连接CE，作EG⊥BC于G.∵AE＝EF＝2， ∴点F在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动. 在Rt△CDE中，由勾股定理得 CE＝＝＝2， ∴FC的最小值为CE－2＝2－2. ∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°， ∴四边形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4， ∴点F到线段BC的最短距离是2. 故答案为2－2，2. 类型二 定边定角构造辅助圆 解题方法：（1）当一条线段所对的几个角都相等时，这几个角的顶点 在以线段为弦的同一个圆上.（2）特别地，当线段所对的角都是90° 时，这条线段就是圆的直径. 典例2[2023河北保定期末]如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°， AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂 线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　D　） D A. B. C. D. 思路引导：　　　 解析： 解析： ⁠ ⁠练2－1 [2023黑龙江大庆模拟]如图，AB是☉O的直径，AB＝4，C为的三等 分点（靠近A点），点P是☉O上的动点，取弦AP的中点D，则线段CD 的最大值为（　D　） D A.2 B. C.2 D.＋1 【解析】如图，连接AC，OD，OC.∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO ＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的☉K，连接CK，当点D在CK 的延长线上时，CD的值最大.∵C为的三等分点（靠近A点）， ∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA.在Rt△OCK中， ∵∠COA＝60°，OC＝2，∴OK＝1，∴CK＝＝.∵DK＝ OA＝1，∴CD＝＋1，∴CD的最大值为＋1，故选D. ⁠ ⁠练2－2 [2023江苏泰州期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°， AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直线AP的垂线，垂足为Q，当 点P从点C运动到点B时，点Q运动的路径长为⁠ ⁠. π 【解析】∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时， 点Q在以AC为直径的半圆上运动，路径是120度的弧，如图.在Rt△ABC 中，∵AB＝4，∠B＝90°－∠CAB＝30°，∴AC＝AB＝2，∴点Q运动 的路径长为＝π. 类型三 对角互补构造辅助圆 解题方法：（1）当一个四边形对角互补时，这个四边形的四个顶点在 同一个圆上，常过这四个顶点构造辅助圆.（2）特别地，当有一组对角 都是90°时，这组角所对的对角线是这个圆的直径. 典例3[2023陕西西安碑林区校级质检]如图，在四边形ABCD中，∠BAD ＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则 线段DE长度的最小值为⁠ ⁠. －1 思路引导：　　　解析： 解析： ⁠ ⁠练3 如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°， 四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值