第3章 专题四 圆中辅助线的作法-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第三章　圆 4 专题四　圆中辅助线的作法 5 专题描述：适当的辅助线在几何证明和计算中能起到事半功倍的作 用，在圆的有关题目中，添加辅助线是非常常见的做法.主要思路是通 过添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题.常见的辅助线作法：构造 直径所对的圆周角、连接圆心和切点等. 类型 一 添半径，得等腰三角形 解题方法：作出圆的半径，利用同圆的半径相等构造等腰三角形，再 利用其性质解决问题. 典例1[2022江苏苏州姑苏区模拟]如图，在扇形AOB中，D为上的 点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°， 则∠A的度数为（　C　） C A.35° B.52.5° C.70° D.72° 思路引导： 解析：⁠ ⁠. 建立CD与半径的联系. 设∠C的度数为n. ∵CD＝OA＝OD， ∴∠C＝∠DOC＝n， ∴∠ADO＝∠DOC＋∠C＝2n. ∵OA＝OD， 解析： 　如图，连接OD　⁠. 设∠C的度数为n. ∵CD＝OA＝OD， ∴∠C＝∠DOC＝n， ∴∠ADO＝∠DOC＋∠C＝2n. ∵OA＝OD， 建立CD与半径的联系. ∴∠A＝∠ADO＝2n. ∵⁠ ⁠，∠AOC＝75°， ∴75°＋n＋2n＝180°， 三角形内角和等于180°. 解得n＝35°， ∴∠A＝2n＝70°. ∴∠A＝∠ADO＝2n. ∵ 　∠AOC＋∠C＋∠A＝180°　⁠，∠AOC＝75°， ∴75°＋n＋2n＝180°， ⁠ ⁠练1－1 [2023湖北咸宁嘉鱼期末]如图，A，B，C是☉O上三点，∠A＝80°，∠C ＝60°，则∠B的大小为⁠ ⁠. 140° 【解析】连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝80°.∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝60°，∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝80°＋60°＝140°. 故答案为140°. ⁠ ⁠练1－2 [2023江苏南京玄武区校级质检]如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的 弦，AB，CD的延长线交于E点，若AB＝2DE，∠E＝14°，则劣弧所 对的圆心角的度数为⁠ ⁠. 42° 【解析】如图，连接OC，OD.∵AB＝2DE，AB＝2OD，∴OD＝DE， ∴∠E＝∠EOD＝14°，∴∠ODC＝∠E＋∠EOD＝28°.∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝28°，∴∠AOC＝∠E＋∠OCD＝14°＋28°＝42°， ∴劣弧所对的圆心角的度数为42°.故答案为42°. 类型 二 构造“垂径定理三角形” 解题方法：在解决求弦长的问题时，常过圆心作弦的垂线并连接圆心 与弦的端点构造“垂径定理三角形”，进而利用勾股定理进行计算. 典例2[2022浙江杭州淳安一模]如图，☉O的半径是3，点P是弦AB延长 线上的点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为⁠ ⁠. 思路引导： 2 解析：如图，过O作OC⊥AB于C，连接OB， 则∠OCP＝90°.∵OP＝4，∠APO＝30°， ∴⁠ ⁠. 在直角三角形中，30°的角所对 的直角边等于斜边的一半. 在Rt△OCB中，由勾股定理得BC＝＝＝. ∵OC⊥AB，∴AB＝2BC＝2，故答案为2. 解析：如图，过O作OC⊥AB于C，连接OB， 则∠OCP＝90°.∵OP＝4，∠APO＝30°， ∴ 　OC＝OP＝2　⁠. ⁠ ⁠练2 [2022山东淄博博山区一模]如图，在平面直角坐标系中，半径为5的 ☉E与y轴交于点A（0，－2），B（0，4），与x轴交于C，D两点，则 点D的坐标为（　B　） B A.（4－2，0） B.（－4＋2，0） C.（－4＋，0） D.（4－，0） 【解析】如图，过E点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，BE，则CF＝DF，AH＝BH.． ∵A（0，－2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1.在 Rt△BHE中，EH＝＝＝4.∵∠EFO＝∠FOH＝ ∠EHO＝90°，∴四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4.在 Rt△DEF中，FD＝＝＝2，∴OD＝FD－OF＝ 2－4，∴D（2－4，0）. 类型三 构造直径所对的圆周角 解题方法：在有直径的题目中，常构造直径所对的圆周角，得到直角 三角形，再结合圆的其他性质进行计算或证明. 典