第3章 专题三 与扇形有关的不规则图形的面积-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第三章　圆 4 专题三　与扇形有关的不规则图形的面积 5 专题描述：求与扇形有关的不规则图形的面积是一类比较常见的题型. 解决此类题目的基本思想是将不规则图形转化为规则图形，然后进行 计算.转化的主要方法有和差法、割补法、等积法、化零为整法、构造 法等. 类型 一 和差法 解题方法：把不规则图形的面积用几个规则图形面积的和或差表示， 即通过规则图形的面积计算出不规则图形的面积. 典例1[2023河南南阳宛城区校级模拟]如图，在扇形AOB中∠AOB＝ 120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA，若OA＝2，则阴影部分 的面积为⁠ ⁠. ＋π 解析：作OF⊥AB于点F，如图.在扇形AOB中， 思路引导： ∵∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA，OA＝2，OA ＝OB，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD ＝OA·tan 30°＝2×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF ＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是S△AOD＋－S△BDO＝ ＋－＝＋π，故答案为＋π. ⁠ ⁠练1 [2023福建福州仓山区质检]如图，将扇形AOB沿OB平移，使点O移到 OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′，若∠AOB＝90°，OA＝2，交O′A′ 于点C. （1）连接OC，求∠AOC的度数； 【解】（1）∵OC＝OB，OO′＝O′B，∴OC＝2OO′. ∵∠OO′C＝90°，∴易得∠O′CO＝30°， ∴∠COO′＝60°. ∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝90°－60°＝30°. （2）请直接写出阴影部分S阴影与S扇形AOC，S△OCO′的数量关系，并求出 阴影部分的面积. 【解】（2）S阴影＝S扇形AOC＋S△OCO′. ∵OC＝2OO′＝2，∴由勾股定理得O′C＝. ∵S阴影＝S扇形O′A′B′－（－S△OCO′）＝－ ＋S△OCO′＝＋S△OCO′， ∴S阴影＝＋×1×＝＋. 类型二 割补法 解题方法：需要仔细观察图形特征，把不规则图形的某一部分“割” 下来，“补”在另一部分，使其成为规则图形或者易于解答的图形.一 般来说，将带有弧线的部分割补为扇形，再通过转化后的图形面积的 和或差进行求解. 典例2如图，正方形ABCD内接于☉O，☉O的半径为2，以点A为圆心， 以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图 中阴影部分的面积为⁠ ⁠.（用含π的式子表示） 4π－4 圆、正方形和扇形都是轴对称图形，所以可利用对称性把不规则图形 转化为规则图形或易于求面积的图形. 解析：∵☉O的半径为2，∴AO＝2，AC＝BD＝4.在正方形ABCD中， ∠EAF＝90°.利用对称性可知，阴影部分的面积＝扇形AEF的面积－ △ABD的面积，即S阴影＝－×4×2＝4π－4. 思路引导： ⁠ ⁠练2 [2023北京海淀区期末]如图，半径为6的圆弧和半径OA，OB围成一个 扇形，分别以扇形的两条半径OA，OB为直径在扇形的内部作半圆，求 阴影部分的面积.（结果保留π） 【解】如图，连接AB交两部分阴影交界处于点H. 易知，AB右侧空白处的面积和O，H之间阴影的面积相 等，故空白部分的面积等于△AOB的面积.S△AOB＝ ×OA×OB＝×6×6＝18，则阴影部分的面积为×π×62－18＝9π－18. 类型 三 等积法 解题方法：通过面积相等将不规则图形转化为规则图形来求解.等积一 般是通过等底等高或全等、折叠、对称、旋转等实现的. 典例3如图，半圆的直径AB＝4，C，D是半圆的三等分点，点E是OA的 中点，则阴影部分面积等于⁠ ⁠. 思路引导： π 解析：连接OC，OD，CD，如图所示. ∵C，D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝ 60°.∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝ 60°，∴∠OCD＝∠AOC，∴CD∥AB，∴△COD和 △CDE⁠ ⁠，∴S△COD＝S△ECD.∵直径AB＝4， 由C，D是半圆的三等分点，易得CD∥AB，则△COD和△CDE同底等 高，所以面积相等. ∴半径为2，∴S阴影＝＝＝π. 解析：连接OC，OD，CD，如图所示. ∵C，D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝ 60°.∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝ 60°，∴∠OCD＝∠AOC，∴CD∥AB，∴△COD和 △CDE 　同底等高　⁠，∴S△COD＝S△ECD.∵直径AB＝4， ⁠ ⁠练3 如图，AB是☉O的直径，CD，EF