第3章 专题六 与圆有关的动态问题-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第三章　圆 4 专题六　与圆有关的动态问题 5 专题描述：与圆有关的动态问题一般包括点动、线动以及某个图形整 体运动三类，在运动的过程中会导致某点到某条线段的距离发生变 化，或是某个图形的面积发生变化，问题常常与变化过程中产生的最 值有关. 类型一 点动型 解题方法：在求最值时常见的理论依据有“两点之间线段最短”“垂 线段最短”和“将军饮马”模型等. 典例1如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是的中点，点E，F 分别为半径OC，OB上的动点.若OB＝2，则△DEF周长的最小值为 （　B　） B A.2 B.2 C.4 D.4 思路引导： 解析：分别⁠ ⁠， 作对称点，连接两点与已知直线相交，利用三角形两边之和大于第三 边可知，当点N，E，F，M共线时，△DEF的周长最小. 连接OM，ON，OD，DN，DM，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD 于P，如图.由对称性可得ED＝EN，FM＝FD，⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 解析：分别 　作点D关于OB，OC的对称点M，N　⁠， 连接OM，ON，OD，DN，DM，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD 于P，如图.由对称性可得ED＝EN，FM＝FD， 　∴△DEF的周长为ED＋ EF＋FD＝EN＋EF＋FM＝MN，此时△DEF的周长最小.　 周长的最小值即三条边长之和的最小值，一般考虑最短路径问题，将三条边移到一条直线上. ∵点D是的中点， ∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝30°. ∵⁠ ⁠， 由对称性得∠MOB的度数及OM的长. ∴∠MOB＝∠BOD＝30°，OM＝OD＝2，同理得∠NOC＝∠COD＝ 30°，ON＝OD＝2，∴∠MON＝120°，∠NOP＝∠MOP＝60°， ∴OP⊥MN，∠OMN＝∠ONM＝30°，PM＝PN. 在Rt△OPM中，OP＝OM＝1， ∴PM＝，∴MN＝2PM＝2， ∴△DEF周长的最小值为2. ∵ 　点M与点D关于OB对称　⁠， ⁠ ⁠练1 如图，点A在半径为3的☉O内，OA＝，P为☉O上一点，延长PO，PA 交☉O于M，N.当MN取最大值时，PA的长等于（　C　） A.2 B.2 C. D.3 C 【解析】当OA⊥PN时，MN的值最大.在Rt△POA中，由勾股定理得PA ＝＝＝. 类型二 线动型 解题方法：线动型问题一般为长度一定的弦在圆中滑动，在滑动的过 程中，该弦的中点的位置也在不断变化，而某条动弦所对的圆心角是 固定不变的.解决此类问题一般根据直径是圆中最长的弦以及过直径上 一点（不是圆心）的弦中与该直径垂直的弦是最短的，再结合垂径定 理、三角形的中位线定理和勾股定理去求解. 典例2[2022浙江绍兴诸暨期中]如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上 的两个动点（点C，D不与A，B重合），在运动过程中，弦CD的长始 终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E，连接EF.若CD ＝5，AB＝6，则EF的最大值为⁠ ⁠，此时CE的长度为⁠ ⁠. 3 ⁠​ 思路引导： 解析：如图，延长CE交☉O于H，⁠ ⁠. 构造中位线，把EF的最值问题转化为弦DH的最值问题. ，则当DH最大时， EF最大，∴⁠ ⁠，EF的值最大，3， 解析：如图，延长CE交☉O于H， 　连接DH　⁠. ∵AB⊥CH，∴EC＝EH.∵CF＝FD，∴EF＝DH，则当DH 最大时，EF最大，∴ 　当DH是直径时　⁠，EF的值最大，为6/2＝3， 　　　　　　　　　　　直径是圆内最长的弦. 此时∠DCH＝90°， ∴CH＝＝＝，∴CE＝，∴EF的最大值为 3，此时EC的长为. ⁠ ⁠练2 如图，AB为☉O的直径，AB＝4，C，D为圆上两个动点，N为CD中 点，