专题1.1 直角三角形的边角关系（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）

专题1.1 直角三角形的边角关系（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ 余弦： cosA＝＝ 正切： tanA＝＝. 【知识点二】特殊三角函数 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【知识点三】解直角三角形的常用关系 (1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：； (3) 边角之间的关系：，，. 【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (4) 解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【考点目录】 【考点1】锐角三角函数； 【考点2】 特殊角三角函数值的计算； 【考点3】 解直角三角形； 【考点4】 锐角三角函数与相关知识综合 【考点5】 三角函数与实际问题 【考点一】锐角三角函数 【例1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．    【答案】 【分析】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，三角函数，相似三角形的判定和性质：根据及公共角证得，得到，根据三角函数值求得，得到，再利用待定系数法求出函数解析式，综合掌握所学知识是解题的关键． 解：∵， ∴    又∵∠C是公共角，∴， ∴，∵， ∴，即， ∵，∴， 在中， ，∴， ∴，∴， 设所在的直线方程为， 将，代入得，， ∴， ∴所在的直线为． 【举一反三】 【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在中，，，则（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案． 解：在中，，， 故选：A． 【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则 （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）． （2） ． （3） ．    【答案】 是 / / 【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由，可得； （3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可． （1）解：如图，作于，的延长线于，      由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：是； （2）解：由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意知，，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点二】 特殊角三角函数值的计算 【例2】（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． （1）解： ； （2） ． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． 【举一反三】 【变式1】（2023·江苏盐城·校考一模）已知 ，则锐角的度数等于（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可． 解：， 锐角的度数为， 故选：C． 【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键． 【变式2】（2023上·山东潍坊·九年级高密市立新中学校考阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的是三角函数值，零指数幂进行计算