第03讲 方程-2024年中考数学一轮复习精讲与精练（全国通用）

2024中考数学一轮复习 (全国通用版) 2024中考数学精讲与精练（全国通用版） 第三讲 方程 考点1：一元一次方程的概念、解法、应用 1.等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2.一元一次方程及其解法 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． （2）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 3.一元一次方程的应用常用题型及等量关系： 销售问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 工程问题：工作量=工作效率×工作时间． 行程问题：路程=速度×时间． 考点2：二元一次方程（组）的概念、解法、应用 1.二元一次方程（组）及其解法 （1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． （3）元一次方程组解法的基本思想和转化思想： 消元思想（代入消元法和加减消元法）．转化思想（二元方程转化成一元方程） 2.二元一次方程（组）的应用 （1）一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）答案． （2）二元一次方程（组）的应用 考点3：一元二次方程的概念、解法、应用 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 2.一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法： （1）整理成一般式，并化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法： （1）把方程化为一般形式，即； （2）确定的值； （3）求出的值，判断有解无解； （4）将的值代入求解即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 3.一元二次方程根的情况判断 （1）．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 4.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 5.一元二次方程的应用 （1）增长率问题 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）几何图形问题 考点4：分式方程的概念、解法、应用 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法 1.基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想） 2.解分式方程的具体步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④检验． 易错提醒： ①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； ②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验