专题02 不等式及基本不等式（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题02 不等式及基本不等式（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】不等式 1.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 3.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 方法技巧： 1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 2.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意. 3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【考点2】基本不等式 1. ≤ (1)成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 方法技巧： 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 选择题、填空题中的考查以不等式的性质为主，有时也与其他知识交汇考查. 不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查. 基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记. 考点 命题点 考题 不等式 ①不等式的性质 ②不等式的求解 ③含参数的一元二次不等式恒成立问题 2022新高考I卷T11，2022全国乙卷（文）T5 2022浙江卷T3，2022全国甲卷T16 2021全国甲卷（文）T12 2020全国I卷T1 基本不等式及应用 ①利用基本不等式求最值 ②基本不等式的综合应用 2022新高考Ⅱ卷T12，2021全国乙卷T8 2020天津卷T14 考点一 不等式 · 命题点1 不等式的性质 典例01（2019·全国·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 典例02（多选）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． · 命题点2 不等式的求解 · 典例01（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．2 典例02（2020·全国·统考高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 典例03（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． · 命题点3含参数的一元二次不等式恒成立问题 典例01（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 典例02（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求