2024年九年级中考数学高频考点突破——圆的综合

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合 一、综合题 1．如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 2．如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 与 的延长线相交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证： ； （3）若 ，求 的长． 3．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 4．如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E． （1）求证：是切线； （2）若，求的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 5．如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）若，求证：． 6．在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点． （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 7．如图，为的直径，C为上一点，F为过点B的切线上的一点，连接、交于点E，交于点D，． （1）求证：点D为弧的中点； （2）连接，过点D作于点H，交于点G，连接，交于点N，求证：． （3）在（2）的条件下，，，求的半径． 8．如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连接． （1）若，求证：． （2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长． （3）连接，若的延长线经过点A，且，求的值． 9．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为3，，求和的长． 10．如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连接交于点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 11．如图，以的边AC为直径作，交BC边于点D，过点C作交于点E，连接AD，DE，. （1）求证：； （2）若，，求AB和DE的长. 12．如图，在中，，，点在线段上，交于点，，与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 13．在中，以为直径作，与交于点，连接，点为半圆中点，连接，与交于，连接，若，． （1）求证：为切线； （2）若，求的半径长． 14．如图，已知，在中，，以为直径的分别交，于D，E两点，于点F，且 （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 15．是的直径，点C在上，于E交于点F，连接，点D在延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，过B作于M，，，求的长． 16．如图，等腰内接于，，连接，过点B作的垂线，交于点D，交于点M，交于点E，连接. （1）若，请用含α的代数式表示； （2）求证：； （3）连接，若，求的值及四边形的面积与面积的比值. 17．已知为的直径，点为弧的中点，弦与弦交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，交弦于点，连接，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，延长线交于点，连接交、于点、，连接，若，，求的长． 参考答案 1．（1）证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接AD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， 同理可得：∠OAC=∠OCA，∠OCD=∠ODC， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC， ∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°， ∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°， ∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90−∠DAO=90°−30°=60°， ∴∠ABD=∠COB=60°， ∴OC//DE， ∵CE⊥BE， ∴CE⊥OC， ∴直线CE为⊙O的切线． 2．（1）证明：连接OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∵ ， ∴∠BCF＋∠OCB＝90°， ∴∠OCF＝90°， ∴OC⊥CF， ∴DF是⊙O的切线 （2）证明：∵点 是劣弧 中点， ∴OC⊥BD， ∵OC⊥CF， ∴BD∥CF， ∴∠F=∠ABD， ∵∠ABD=∠ACD， ∴ （3）证明：设OC交BD于点M， ∵ ，AC⊥BC， ∴ ， ∵点 是劣弧 中点， ∴ ，OC⊥BD，