精品解析：2024届湖南省高三九校联盟第一次联考数学试卷

湖南省2024届高三九校联盟第一次联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则满足条件的实数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ） A. 且 B. C. D. 或 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 5. 设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ） A B. C. D. 7. 在中，点满足重心，设，则可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差 B. 数据的第60百分位数为9 C. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 D. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 10. 已知，则（ ） A. 与均有公共点的直线斜率最大为 B. 与均有公共点的圆的半径最大为4 C. 向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆 D. 向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 的图象关于点中心对称 C. 的所有零点为 D. 是以为周期的函数 12. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数列 D. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知函数是偶函数，则_________． 14. 已知第一象限内的点在直线上，则的最大值是______. 15. 把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有__________个. 16. 如图所示，有两个相同直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a的取值范围是________． 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 18. 如图，四棱柱的底面是正方形，平面. （1）求点到平面的距离； （2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 19. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 20. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. （1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他