2023年浙江省宁波市高中数学竞赛试题

2023年宁波市高中数学竞赛试题 2023年12月3日9：00-11：00 注意： ①本卷不得使用计算器： ②报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）： ③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上， 一、选择题1（本题共4小题，每小题6分，共24分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的，不选、多选、错选均不得分，) 1.已知a,b,c为实数，则ac2>bc2是a>b的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.将一个袋子中所有的骰子全部抛出，并去掉点数为偶数的骰子，将点数为奇数的般子再放回这个袋 子，称为一次操作。现袋子中有2个质地均匀的骰子，重复以上操作，直到去掉所有的骰子为止，则操 作次数多于两次的概率是 7 A.16 c 3.已知三棱锥P-ABC,AB=AC=2,PA=√2，点P在底面的射影为△ABC的外心，二面角P-BC-A 的大小为行，则三棱锥P-BC外接球的表面积是 A.4π B.8π C.12π D.16m 4.如图，椭圆的中心在原点，长轴A4在x轴上.以A,A为焦点的双曲线交椭圆 于C,D,A,G四点，且1CD外4，椭圈的一条弦AC交双曲线于B,设 =入， C 当}A<时，双曲线的离心率的取值范围是 A.,1+) B.(2,1+V C.a+5,o) D.,1o) 第4题图 二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分，每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目 要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分.) 5.已知样本数据，为2，为，x4,,6的平均数是5，方差是1，则新样本数据11,2x+1,22+1,2x+1, 2x4+1,2x5+1,2x6+1的 A.平均数是6 B.平均数是11 C,方差是号 D.方差是4 2023年宁波市高中数学竟赛试题 第1页（共4页） 6.铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中，研究得到铅酸电池的理论容量（仅与电池本身 有关)数值K,放电时间数值：和放电电流数值1之间满足经验公式：K=产1,1为与电池结构有关的 常数（称为Peukert常数）.现有甲、乙两种不同的铅酸电池，它们的Peukert常数分别为A,入，对于甲种 铅酸电池，当放电电流数值为15时，放电时间数值为60：当放电电流数值为50时，放电时间数值为15.乙 种铅酸电池的理论容量数值为3078，当放电电流数值为27时，放电时间数值为38.下面说法正确的是 A.对于甲种铅酸电池，当放电电流数值为30时，放电时间数值不到30 B.对于乙种铅酸电池，只要放电电流数值不超过54，放电时间数值可达16以上 C.甲种铅酸电池的Peukert常数A小于乙种铅酸电池的Peukert常数 D.甲种铅酸电池的理论容量数值大于乙种铅酸电池的理论容量数值 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设点P是△ABC内一点， 满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=B,称点P为△ABC的布洛卡点，角0为△ABC 的布洛卡角（如图）.则 人.当△MBC是等边三角形时，布洛卡角9等于君 第7题图 B.当△ABC是非等边的等腰三角形时，布洛卡点P落在顶角的角平分线上 C.当△ABC是等腰R1△时，布洛卡角9的正切值等于 D.当△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形时，△PAC与△PBC的面积相等 8.定义在R上的函数f(x)同时满足：①fx+)-f(x)=2x+2,xeR:②当x∈[0，]时，If(x)K1. 则 A.f(0)=-1 B.f(x)为偶函数 C.存在m∈N°，使得f(a)>2023n D.任意xeR,|fx)sx2+x+3 三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分.请把答案写在答题纸的相应位置上.） 9.已知log3(1oggx)=logg(1og1x),则1og3x的值是 10.若函数y=r+r+c (a,b,c,d,eeR)的图象如图所示，则a+b+c+d+e的值是 x+dx+e 第10题图 2023年宁波市高中数学竞赛试题第2页（共4页） 11.已知x,y,z均为正实数，y+z=1,则 5一+L+的最小值是 x+y+z'x+z y 12,关于x的方程血=兮在xe（经上恰有2023个解，则正整数加的值是 13.用()表示集合A中的元素个数，定义A*B2(0-2(B)l.已知aeR,函数f()=x2+a,集合 A={x∈R|ff(x》=x对.若集合B=L,2),且A*B=2,则实数a的取值范围是 14.若复数，满足引名+2上10，子+号=4，则川子-2+z引的最大值是 四、解答题1（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分.） 15.如图，直四棱柱ABCD-4BCD