江西省宜春市万载县赣西外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）

赣西外国语学校2023—2024年第一学期期中考试 高二年级数学试卷（A）卷 一、单选题（每小题5分共40分） 1．若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 5．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 6．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．已知向量，，若，，则的值为（    ） A．3或1 B．2 C．1或2 D．2 二、多选题（每小题5分共20分） 9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D．3 11．设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 12．下列结论错误的是（ ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．过两点的直线方程为 三、填空题（每小题5分共20分） 13．已知点到直线的距离为2，则 ． 14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 . 15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为      16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，，且对于任意，，，则的最小值为 ，此时 ． 四、解答题（共70分） 17（10分）．已知三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 18（12分）．已知直线. (1)求证：直线过定点M； (2)若直线分别交x轴、轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点，求的最小值. 19（12分）．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 20（12分）．设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 21（12分）．已知，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 22（12分）．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求： (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正弦值. 高二数学期中考试参考答案：（A卷） 一单选题 1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A 二多选题 9．BD 10．BC 11．BD 12．ACD 三填空题 13． 14．9 15． 16． 1 3 四解答题 17【详解】（1）由题意可得, 由斜截式可得直线方程为；.................5分 （2）,所以边上的高所在直线的斜率为， 由点，所以边上的高所在直线方程为.................10分 18．【详解】（1）证明：直线整理可得 当时不论为何值，，此时，， 则直线恒过定点.....5分 （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， ......8分 故， 当且仅当时取等号， 故的最小值为.............12分 19．【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆C的标准方程为..............6分 （2）解：由，可得， 又由椭圆的定义，可得， 平方得，即， 解得，所以的面积...............12分 20．【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离. 于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小. 显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.   ...............6分 （2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点， 　   此时，，那么,即最小值为4.............12分 21．【详解】（1）因为，，