精品解析：重庆市沙坪坝区南开中学校2024届高三上学期第四次质量检测（期中）数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 已知直线a、b与平面、，下列命题正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，，，则向量与的夹角等于（ ） A B. C. D. 5. 已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，.设，若且，则称，为原位大三和弦.现随机按下两个白键和一个黑键，则恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的准线与轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线相切，圆C与抛物线E的另一个交点为P，若，则（ ） A. 2或 B. 2或4 C. 或 D. 2或 8. 将一张如图所示的两直角边长度分别为和的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5-分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分； 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数 10. 在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ） A 直线与直线一定异面 B. 直线与直线一定垂直 C. 直线可能与平面平行 D. 直线可能与平面垂直 11. 已知数列和都是等差数列，，，，设集合，，，若将集合中的元素从小到大排列，形成一个新数列，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 数列前20项和为610 12. 如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率 B. 若且，则的渐近线方程为 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线与直线平行，则实数的值为__________. 14. 已知，则_____________． 15. 已知直线与圆交于A、B两点，则弦长的最大值为__________. 16. 已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，，. （1）求的面积； （2）设为线段上一点，且，求的值. 18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 女生 5 10 15 男生 5 20 25 合计 10 30 40 （1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？ （2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论. （i）求的最小值； （ii）如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由. 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值. 20. 已知数列满足，，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在常数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，，. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值. （2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.（…为自然对数的底数） 22. 椭圆左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值.