2024年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，连接BD (1)求证：EF与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为3，AD=4，求△ABD的面积． 2．如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 3．如图，中，，CO平分交AB于O点，以OA为半径的圆O与AC相切于点A，D为AC上一点且． (1)求证：BC所在直线与圆O相切； (2)若，，求圆O的半径． 4．如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，且，过点作的垂线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．如图，PC是⊙O的弦，作OB⊥PC于点E，交⊙O于点B，延长OB到点A，连接AC，OP，使∠A＝∠P． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若BE＝2，PC＝4，求AC的长． 6．如图，是的直径，是半圆上一点，过点作，垂足为；再作直线，使． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 7．如图，点A、B、C分别是上的点，，CD是的直径，E是CD延长线上的一点，且． (1)求证：AE是的切线； (2)求ED的长． 8．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上且∠CDA＝∠CBD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若∠C＝30°，AC＝5，求⊙O的半径． 9．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F． (1)求证：DE为的切线； (2)若，的半径为10，求的长度． 10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点,连接CD，且． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为，的面积为，求CD的长． 11．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果AB＝DE，OD＝3，求⊙O的半径． 12．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF． (1)求证：AF与⊙O相切； (2)若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径． 13．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝，求⊙O的半径． 14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． (1)求证：DE是半圆⊙O的切线； (2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 15．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段和的长． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径． 17．如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 18．如图，在平行四边形中，点为边上一点，以为圆心，为半径作恰好经过点，与边交于点，边所在直线与相切，切点为，连接，，若： （1）求证：为切线； （2）若，求半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线； （2）由勾股定理求出BD的长，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AE， 又∵EF⊥AE， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=6，AD=4， ∴BD=， ∴S△ABD=AD•BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等