精品解析：福建省泉州市永春第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2023.11） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题 1. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为 A. B. C. D. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 4. 在平行六面体中，M为AC与BD交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点射出，沿倾斜角为直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多选题 9. 直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 10. 在正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ） A. //平面 B. 平面 C. D. 点与点到平面的距离相等 11. 已知、满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 12. 月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径､椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为，则（ ） A. 线段的最大值为 B. 若在半圆上，则的最大值为 C. 当轴时，的最大值为 D. 若在半椭圆上，当时，取得最大值 三、填空题 13. 抛物线上的点到焦点的距离为，则______. 14. 已知点，，，四点共圆，则______. 15. 已知直线与圆：交于，两点，且，则最大值为______. 16. 在长方体中，分别是棱上动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是__________. 四、解答题 17. 如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 18. 已知三个顶点是，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 19. 如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20. 已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦. （1）当圆的面积最小时，求圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件： （i）与直线垂直； （ii）与圆相切； （iii）在轴上的截距大于0， 若直线与圆交于，两点，求. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 22. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2023.11） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题 1. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径. 详解：由题得所以圆的半径为 故答案为D 点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 3. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C.