精品解析：山东省济宁市兖州区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年第一学期期中质量检测 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个白球与都红球 B. 恰好有一个白球与都是红球 C. 至少有一个白球与都是白球 D. 至少有一个白球与至少一个红球 2. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，二面角度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 7. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角为120° C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来位置，则该直线的斜率为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 11. 下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆公共弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线的方程为 C. 圆与圆关于直线对称 D. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是 12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 假如，，且与相互独立，则___________． 14. 直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则______. 15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 18. 袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是，得到白猫或红猫的概率是，试求： （1）某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？ （2）某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？ 19. 已知圆，直线（）恒过定点. （1）求定点坐标； （2）求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长. 20. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以分获胜的概率． 21. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 22. 中国古代数学名