福建省永春第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题

永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2023.11） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题 1. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为 A. B. C. D. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 4. 在平行六面体中，M为AC与BD交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多选题 9. 直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 10. 在正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ） A. //平面 B. 平面 C. D. 点与点到平面距离相等 11. 已知、满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 12. 月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径､椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为，则（ ） A. 线段的最大值为 B. 若在半圆上，则的最大值为 C. 当轴时，的最大值为 D. 若在半椭圆上，当时，取得最大值 三、填空题 13. 抛物线上的点到焦点的距离为，则______. 14. 已知点，，，四点共圆，则______. 15. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为______. 16. 在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是__________. 四、解答题 17. 如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 18. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 19. 如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20. 已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦. （1）当圆的面积最小时，求圆的标准方程； （2）在（1）条件下，直线同时满足以下三个条件： （i）与直线垂直； （ii）与圆相切； （iii）在轴上的截距大于0， 若直线与圆交于，两点，求. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 22. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2023.11） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 【12题答案】 【答案】ABD 三、填空题 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 【15题答案】 【答案】30 【16题答案】 【答案】 四、解答题 【17题答案】 【答案】（1）10或22；（2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】(1)见证明；(2) 【