精品解析：江苏省无锡市梁溪区江南中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

无锡市江南中学2023-2024学年度第一学期期中考试初三年级数学学科试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 5. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形 6. 下列四个命题中，真命题是（　　） A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 7. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 8. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA度数为（ ） A. 36° B. 38° C. 40° D. 42° 10. 如图，点A在以为直径的上，且，连结、，以A为边作等边，以为边作正方形，连结．若为，为，为，则等于（　　） A. 16 B. C. 15 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则的值为_____． 12. 设，是方程的两个根，则______． 13. 圆锥底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______． 14. 两个相似三角形的面积之比为，小三角形的周长为，则另一个三角形的周长为________． 15. 如图，是圆O的直径，是圆O上一点，，，平分交圆O于点，则劣弧的长为______． 16. 如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为______． 17. 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则______；（2）方程的两根为________．（根用表示）． 18. 如图，中，点D为延长线上一点，且，若，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）；（配方法） （4）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程必有实数根； （2）等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值． 21. 如图，在中，．在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点F． （1）求证：； （2）求DF的长． 22. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出． （2）在图中，线段上作点，利用格点作图使得． 23. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 24. 如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． （1）求灯杆的高度； （2）小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 25. 阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值． 解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81， 所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9． 上面这种方法称为“换元