6.1 幂函数8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

6.1 幂函数8种常见考法归类 1.幂函数的概念 我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： （2）幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 注：(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 3.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 （1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； （2）当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； （3）当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 4.幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式. 注：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α． 5.作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 6.解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断. 7.比较幂值大小的两种基本方法 8.幂函数性质的综合应用 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 幂函数的概念 考点二 幂函数定义域和值域问题 考点三 幂函数的图象及应用 考点四 幂函数过定点问题 考点五 由幂函数单调性比较大小 考点六 利用幂函数单调性解不等式 考点七 利用幂函数单调性求参数 考点八 幂函数性质的综合应用 考点一 幂函数的概念 1．【多选】（2023上·四川广安·高一校考期中）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 2．【多选】（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是不是幂函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 4．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 5．（2023上·河南·高一校联考期中）若幂函数的图象过点，则实数（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于 . 7．（2023上·重庆·高一重庆市实验中学校联考期中）已知幂函数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）若幂函数的图象