5.4 函数的奇偶性6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

5.4 函数的奇偶性6种常见考法归类 1、偶函数与奇函数 (1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为A. 如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数； 如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数. (2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 注：如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称，由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称. 2、奇函数、偶函数性质 (1)奇函数的图象关于原点对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数. (2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同. (3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反. 注：若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数. 3、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 4、定义法判断函数奇偶性 注：判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 5、奇、偶函数的图象特征 (1)先判断函数的奇偶性； (2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 6、利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解. 7、已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 8、比较大小的方法： (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 9、利用函数奇偶性和单调性解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. 10、(1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x). (2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性判断 （一）一般函数奇偶性的判断 （二）分段函数奇偶性的判定 （三）抽象函数奇偶性的判定 考点二 奇、偶函数的图象特征 考点三 由奇偶性求值 考点四 由奇偶性求参数值 考点五 利用奇偶性求解析式 （一）求对称区间上的解析式 （二）构造方程组求解析式 考点六 奇偶性与单调性的综合应用 （一）比较大小 （二）利用奇偶性、单调性