5.3 函数的单调性6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

5.3 函数的单调性6种常见考法归类 1.增函数和减函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A， (1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是增函数，I称为y＝f(x)的增区间. (2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数，I称为y＝f(x) 的减区间. 2.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间. 注：增(减)函数定义中x1，x2的三个特征 ①任意性：x1，x2是区间内任意两个实数； ②有序性：一般要对x1和x2的大小规定，通常规定：x1＜x2； ③同区间性：x1，x2属于同一个单调区间. 这三个特征缺一不可. 3.函数的最大值与最小值 设函数y＝f(x)的定义域是A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). 注：任何函数不一定都有最大(小)值，函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素，若仅有对定义域内的任意实数x，都有f(x)≤M，但M不在函数值域内，则M不能称为函数的最值，例如函数y＝，这个函数既没有最大值也没有最小值. 4.利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 5.函数单调区间的两种求法 ①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间. ②定义法.即先求出定义域，再利用定义进行判断求解. 6.函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个或两个以上单调区间时，单调区间之间可用 “，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 7.单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 8.函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 9.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. 10.利用单调性比较大小的方法 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1<x2⇔f(x1)<f(x2). (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去. 11.利用函数的单调性解不等式的方法 当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 12.用图象法求最值的三个步骤 13.利用单调性求最值： 首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值. 14.函数的最值与单调性的关系： (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). 15.含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值. 16.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区