湖南省衡阳市第八中学等2023-2024学年高三上学期11月质量检测数学试题

2024届高三11月质量检测试题 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 2. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若a，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：， A B. 若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C. D. 若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃ 11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ） A. B. 当n为奇数时， C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和小于 12. 已知正方体的棱长为2，P是正方体表面上一动点，且，记点P形成的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. 的长度是8 D. 的长度是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______. 14. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 15. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 16. 已知函数，则方程的解的个数是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知函数和在处有相同的导数. （1）求； （2）设是的极大值点，是的极小值点，求的值. 18. 如图，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若该四棱柱的所有棱长均为1，求二面角的余弦值. 19. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022. 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，. （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由； （2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； （ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 20. 在数列中，已知，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的值； （3）若数列满足，求证：. 21. 在中，为边上高，已知. （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值及取最小值时k的值. 22. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数取值范围； （2）讨论函数的零点个数. 2024届高三11月质量检测试题 数学 一、单项选择题：本