5.2 函数的表示方法7种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

5.2 函数的表示方法7种常见考法归类 1、函数的三种表示方法及其优缺点 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：①简明、全面概括了变量间的关系；②利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 （3）图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 2、分段函数 （1）定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）性质：①分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． ②作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 注：任何一个函数都可以用解析法、图象法或列表法三种形式表示吗？ 不一定，并不是所有的函数都可以用解析法表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. 3、理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 4、画函数图象时要注意： (1)分段函数的图象应该分段画； (2)在画图象的某一段时，应先画出该段解析式对应的整个图象，再在上面截取所需要的图象； (3)画出函数图象后，可直接求得函数的值域，故图象法是求函数值域的重要方法之一； (4)一般地，函数y＝|x－a|的图象关于直线x＝a对称. 5、求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可． (2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围． (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可． (4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x． (5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可． 6、求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 7、已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验． 8、分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 三种表示方法的应用 考点二 函数图象问题 考点三 求函数的解析式 （一）用待定系数法求函数解析式 （二）换元法求函数解析式 （三）配凑法求函数解析式 （四）消元法(或解方程组法)求函数解析式 考点四 分段函数求值 考点五 分段函数解不等式 考点六 分段函数的图象及应用 考点七 分段函数的实际应用 考点一 三种表示方法的应用 1．（2023·全国·高一课堂例题）购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（）的函数，并指出这个函数的值域 2．（2023上·高一课时练习）某商场为