专题04 二次根式（9类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

主题一 数与式 专题04 二次根式 目录一览 知识目标（新课程标准提炼） 中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点） 考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记） 重点考向（以真题为例，探究中考命题方向） ►考向一 二次根式有意义的条件 ►考向二 二次根式的性质与化简 ►考向三 二次根式的乘除法 ►考向四 分母有理化 ►考向五 同类二次根式 ►考向六 二次根式的加减法 ►考向七 二次根式的混合运算 ►考向八 二次根式的化简求值 ►考向九 二次根式的应用 最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧） 1.了解二次根式、最简二次根式的概念； 2. 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算； 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围． 二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握. 二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 二次根式的基本性质 1.≥0； a≥0（双重非负性）． 2.（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3.＝|a|＝（算术平方根的意义） 二次根式的化简 1.二次根式的化简： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） 2.化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2.最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、 、 、 等． 二次根式的乘除法 1.积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） 2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） 3.商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） 4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 同类二次根式 1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.同类二次根式的理解：同类二次根式类似于整式中的同类项．几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 二次根式的加减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： （1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号． （2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简． （3）合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方