第42讲空间角讲义-2024届高三数学一轮复习

第42讲　空间角 一、基础知识 1.空间角的定义: (1)异面角所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的　　　　叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).  ②范围:　　　　.  (2)线面角 ①直线与平面所成的角:如图7-42-1,AB是平面α的垂线段,AC是平面α的斜线段,直线BC称为直线AC在平面α内的射影,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角. 图7-42-1 ②线面角的取值范围:　　　　.  (3)二面角和二面角的平面角 ①从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　　　　,这条直线称为二面角的　　　　,这两个半平面称为　　　　.  ②二面角的平面角:在二面角α-AB-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角,如图7-42-2,O∈l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l,OB⊥l,二面角α-l-β的平面角是　　　　.  图7-42-2 ③二面角的平面角的取值范围:　　　　.  2.空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角θ的求法 设a,b分别为l1,l2的方向向量,则cos θ=|cos􀎮a,b􀎯|=(θ∈(0,]). (2)直线和平面所成角的求法 如图7-42-3所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=(θ∈[0,]). 图7-42-3 (3)二面角的求法 如图7-42-4所示,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足　.  图7-42-4 　二、分类探究　 探究点一　异面直线所成的角 例1 如图7-42-6,已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为2. (1)求该圆锥的体积; (2)已知AB为圆锥底面圆的直径,C为底面圆周上一点,且∠BOC=90°,M为AC的中点,求异面直线OM与PB所成角的大小. 图7-42-6   [总结反思] (1)用几何法求异面直线所成的角时,可将异面直线通过平移转化为共面直线; (2)用向量法求异面直线所成角的步骤:①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;②确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. 变式题 如图7-42-7,四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD=BD=2,点E,F为平面ABCD外两点,EF∥AC且EF=2AE=2,∠EAD=∠EAB. (1)证明:BD⊥CF; (2)若∠EAC=60°,求异面直线AE与DF所成角的余弦值. 图7-42-7     探究点二　直线与平面所成的角 例2 如图7-42-8,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠DAE=∠BAE=45°,∠DAB=60°. (1)证明:平面ADE⊥平面ABE; (2)若平面DCE与平面ABE所成角的余弦值为,求直线DE与平面ABE所成角的正弦值. 图7-42-8     [总结反思] (1)解决直线与平面所成角的问题,关键是找到此直线在平面上的射影,常用的方法是寻找一个经过此直线并与已知平面垂直的平面,从而利用面面垂直的性质定理确定直线上一点在平面上的射影.如果从已知直线出发较难找到直线在平面上的射影时,可以尝试通过平移直线(或平面)将它转化到其他位置来解决.当然我们也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,从而使问题得到解决. (2)事实上,对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量来解决,如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决. 变式题 如图7-42-9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,∠ABC=90°,且侧面ABB1A1为菱形. (1)证明:A1B⊥平面AB1C1; (2)若∠A1AB=60°,AB=2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为,求三棱锥C-ABA1的体积. 图7-42-9       探究点三　二面角 例3 如图7-42-10,半圆弧AB所在平面与平面ABCD垂直,M是上异于A,B的动点,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC. (1)证明:MB⊥平面MAD; (2)当直线MB与平面ABCD所成的角为45°时,求二面角D-MA-C的正弦值. 图7-42-10       [总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的