专题03正余弦定理及其应用-高中数学高考备考二轮复习优化提优专题训练

专题03 正余弦定理及其应用 1、（2023年全国乙卷数学（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 2、（2023年全国甲卷数学（理））在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________． 【答案】 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】文由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 5、（2023年全国甲卷数学（文））在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 6、（2023年全国甲卷数学（文））记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 7、（2023年新高考天津卷）在中，角所对的边分別是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， 故． 8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【详解】（1）， ，即， 又， ， ，， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 10、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． (2)由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 11、【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【解析】(1) 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； (2)：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 12、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【解析】(1) 因为，即， 而，所以； (2)由（1）知，，所以， 而， 所以，即有． 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题 1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案 【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即， 因为，所以或， 故选：BD. 1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求; (2)若,求外接圆的半径R． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得; (2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径. 【详解】（1）解:因为, 所以 , 所以,因为, 所以,所以,又, 所以; （2）因为, 所以在中,由正、余弦定理得: , 所以,故, 由正弦定理得, 所以外接